Modellierung nicht-Newtonscher Strömungen in porösen Medien

Nicht-Newtonsche Fluide wie Ketchup oder Blut zeigen ein von der Schergeschwindigkeit abhängiges Verhalten, was die Modellierung der Strömung in porösen Medien erschwert. Die komplexe Struktur poröser Materialien – Kanäle, Stauzonen und isolierte Poren – führt zu unterschiedlichen Fluideigenschaften. In Ermangelung einer universellen Theorie werden Modelle häufig anhand von Messungen oder Simulationen auf Porenebene auf bestimmte Fluid-Material-Kombinationen zugeschnitten. In diesem Blog-Beitrag zeigen wir, wie Sie diese Simulationen oder Messungen nutzen können, um einen homogenisierten Ansatz für die Modellierung nicht-Newtonscher Strömungen in porösen Strukturen zu entwickeln.

Nicht-Newtonsche Fluide

Aus dem Alltag wissen wir, dass manche Fluide unserer Intuition widersprechen. Ein bekanntes Beispiel ist Ketchup, der zunächst hartnäckig in der Flasche bleibt und dann plötzlich den ganzen Teller bedeckt. Dieses als Scherverdünnung bekannte Phänomen tritt auf, wenn die Viskosität mit zunehmender Schergeschwindigkeit abnimmt. Die meisten Polymere zeigen ein ähnliches Verhalten. Weniger verbreitet sind Fluide mit Scherverdickung, bei denen die Viskosität mit der Schergeschwindigkeit zunimmt. Ein bekanntes Beispiel ist Oobleck (eine Maisstärkesuspension), auf deren Oberfläche man laufen kann, wenn man sich schnell genug bewegt.

Die Schergeschwindigkeit beschreibt, wie schnell sich benachbarte Fluidschichten relativ zueinander bewegen, und hängt vom Geschwindigkeitsgradienten ab, der durch die Geschwindigkeit \mathbf{u} des Fluids und die Krümmung des Strömungswegs beeinflusst wird. Mathematisch wird sie wie folgt ausgedrückt:

mit dem Deformationsgeschwindigkeitstensor \mathbf{S} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T\right). In porösen Medien erzeugt das komplexe Netzwerk aus divergierenden und konvergierenden Poren schnell wechselnde Geschwindigkeiten und Scherraten. Dies führt zu erheblichen Schwankungen der Viskosität im Porenraum, wie im folgenden Beispiel gezeigt, in dem ein Carreau-Fluid durch eine unregelmäßige Porenstruktur strömt.

Stromlinien zeigen die Viskosität eines Carreau-Fluids. Schmale Kanäle mit hohen Schergeschwindigkeiten weisen eine deutlich geringere Viskosität auf, während breitere Bereiche mit niedrigeren Schergeschwindigkeiten eine höhere Viskosität beibehalten, was den Einfluss der Porenstruktur auf das Verhalten des Fluids verdeutlicht.

Diese dynamischen Viskositätsschwankungen stellen Herausforderungen für die Modellierung nicht-Newtonscher Strömungen dar. Um diese Herausforderungen in größerem Maßstab zu bewältigen, benötigen wir effektive Hochskalierungsmethoden, die das Verhalten auf Porenebene in makroskopische Strömungseigenschaften übersetzen.

Hochskalierung von Modellen auf Porenebene

Die Modellierung der Strömung nicht-Newtonscher Fluide auf Porenebene ist für großtechnische Anwendungen nicht möglich, sodass eine Hochskalierung erforderlich ist. Ein Ansatz besteht darin, eine scheinbare Viskosität \mu_\textrm{app} zu definieren – im Wesentlichen die (konstante) Viskosität, die zu dem gleichen Druckabfall wie das nicht-Newtonsche Fluid führt (Ref. 1).

Nach dem Darcy-Gesetz ist die scheinbare Viskosität:

(1)

Hier ist \kappa die Permeabilität des porösen Mediums, v die Geschwindigkeit und \nabla p der Druckgradient. Diese Werte können entweder gemessen oder, wie in unserem Fall, aus Porenmodellen eines repräsentativen Volumenelements (RVE) abgeleitet werden. Die (intrinsische) Permeabilität ist eine Eigenschaft der porösen Matrix und hängt nur von der Porengröße, der Form und der Konnektivität ab. Wir können sie wie in diesem Blog-Beitragbeschrieben und in diesem Modell gezeigt berechnen.

Nun kennen wir die Permeabilität der Struktur und lassen ein Carreau-Fluid durch sie strömen. Seine scheinbare oder effektive Viskosität ist definiert als

(2)

wobei die Parameter \mu_0 und \mu_\textrm{inf} die Geschwindigkeiten bei Null und die unendliche Scherrate, \lambda die Relaxationszeit und n der Potenzindex sind. Um die Notwendigkeit einer Hochskalierungsmethode weiter zu begründen, leiten wir dasselbe Carreau-Fluid durch eine andere poröse Struktur mit derselben Porosität und Permeabilität und wenden denselben Druckabfall an. Wie wir gelernt haben, wird die Schergeschwindigkeit durch die Krümmung des Strömungswegs beeinflusst. Da sich der Strömungsweg in diesen unterschiedlichen Strukturen unterscheidet, unterscheidet sich auch die Schergeschwindigkeit und damit das, was wir mit (1) messen oder berechnen würden.

Unterschiedliche poröse Strukturen mit gleicher Porosität, Permeabilität und unter gleichen Randbedingungen zeigen unterschiedliche scheinbare Viskositäten, was den Einfluss sowohl des Fluids als auch der Struktur auf die Schergeschwindigkeit verdeutlicht.

Für die Hochskalierung einer porösen Struktur benötigen wir also einen Ausdruck, den wir für die Schergeschwindigkeit verwenden können, da wir diese nicht direkt aus der Darcy-Geschwindigkeit allein berechnen können. Nennen wir ihn die scheinbare Schergeschwindigkeit \dot\gamma_\textrm{app}, die dann in (2) verwendet werden kann.

Es gibt verschiedene Formulierungen, die für unterschiedliche Situationen geeignet sind. Eine häufig verwendete Formulierung lautet:

(3)

Hier wird der Einfluss der Porenstruktur im Korrekturfaktor \alpha zusammengefasst. Zwar können bestehende Beziehungen für \alpha verwendet werden, jedoch lassen sich genauere Ergebnisse erzielen, indem \alpha an Messungen oder Simulationsdaten angepasst wird.

Berechnung und Validierung des Korrekturfaktors

Der Korrekturfaktor \alpha kann mithilfe eines systematischen Ansatzes in COMSOL^® bestimmt werden. Dazu wird zunächst die scheinbare Schergeschwindigkeit \dot\gamma_\textrm{app} mit (2) berechnet. Außerdem wird den Term \frac{|\mathbf{u}|}{\sqrt{\kappa\epsilon_\textrm{p}}} berechnet, den wir als normalisierte Geschwindigkeit bezeichnen. Schließlich werden beide kombiniert, um \alpha aus (3) zu berechnen. Während \alpha über gewisse Druckabfallbereiche als konstant angenommen werden kann, ist es wichtig zu beachten, dass er aufgrund von Änderungen der Strömungsmuster, wie z. B. dem Auftreten von Turbulenzen, variieren kann.

In unserem Modell wurden Druckabfälle zwischen 50 und 5000 Pa/m simuliert. COMSOL^® gibt diese Ergebnisse in einer Tabelle aus. Diese Tabelle wird dann in der Funktion Least-Squares Fit verwendet, um (3) an die Daten anzupassen und den Wert von \alpha zu bestimmen.

Es ist auch möglich, experimentelle Messungen in der Funktion Least-Squares Fit zu verwenden, anstatt sich auf ein Porenmodell zu verlassen.

Um diesen Ansatz zu validieren, können wir eine homogenisierte Version des Modells auf der Grundlage der Brinkman-Gleichungen erstellen und die Ergebnisse vergleichen. Wenn die Ergebnisse übereinstimmen, bestätigt dies die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Näherung.

Die Interfaces Brinkman Equations und Darcy’s Law unterstützen nun die Modellierung nicht-Newtonscher Strömungen unter Verwendung der scheinbaren Schergeschwindigkeitsmethode einschließlich thermischer Effekte. Sie können dabei aus sechs gängigen nicht-Newtonschen Beziehungen wählen. Darüber hinaus können Sie entweder einen benutzerdefinierten Korrekturfaktor eingeben oder den Kapillarbündelansatz wählen, der eine alternative Beschreibung von \alpha bietet, die für poröse Medien geeignet ist, die Kapillarbündeln ähneln. Die folgende Abbildung zeigt einen Screenshot der Benutzeroberfläche von COMSOL Multiphysics^® mit dem Einstellungsfenster für die Fluideigenschaften.

Die unten dargestellten Ergebnisse zeigen, dass die Methode der scheinbaren Schergeschwindigkeit genaue und zuverlässige Vorhersagen liefert.

Scheinbare Viskosität über die normalisierte Geschwindigkeit für das Porenmaßstabsmodell und den homogenisierten Ansatz.

Nächste Schritte

Die Modellierung nicht-Newtonscher Strömungen in porösen Medien stellt aufgrund der komplexen Wechselwirkungen zwischen Fluideigenschaften und Porenstruktur eine besondere Herausforderung dar. Durch die Kombination von Simulationen oder Messungen auf Porenebene mit Hochskalierungstechniken lassen sich genaue makroskopische Modelle ableiten. Die Methode der scheinbaren Schergeschwindigkeit, die nun in den Interfaces für Strömungen in porösen Medien unterstützt wird, bietet einen zuverlässigen Ansatz zur Berücksichtigung dynamischer Viskositätsänderungen und struktureller Einflüsse.

Möchten Sie die Homogenisierung des Strömungsverhaltens nicht-Newtonscher poröser Medien selbst modellieren? Die MPH-Datei und eine Schritt-für-Schritt-Anleitung finden Sie in der Application Gallery:

In einem kommenden Blog-Beitrag werden wir ein reales Beispiel für den Blutfluss durch eine verengte Lungenarterie untersuchen und zeigen, wie die Methode der scheinbaren Schergeschwindigkeit in diesem Zusammenhang angewendet wird.

Referenz

1. N. Zamani, I. Bondino, R. Kaufmann, A. Skauge, “Computation of polymer in-situ rheology using direct numerical simulation”, Journal of Petroleum Science and Engineering, Volume 159, 2017; https://doi.org/10.1016/j.petrol.2017.09.011.