Bei der Modellierung eines niederfrequenten elektromagnetischen Systems, das Spulen, nichtlineare Materialien, Magnete und bewegliche Teile enthält, wird häufig die differentielle Induktivität berechnet. Die differentielle Induktivität quantifiziert die Felder, die in solchen elektromagnetischen Systemen entstehen, wenn zeitabhängige Ströme durch eine der Spulen fließen. Differentielle Induktivitäten sind besonders nützlich für den Aufbau vereinfachter Lumped-Modelle. Sehen wir uns einige Aspekte zur Theorie und Praxis der Verwendung dieser differentiellen Induktivitäten im AC/DC Module, einem Add-On zur Software COMSOL Multiphysics®, an.
Ein kurzer Überblick über die Theorie
Das Konzept der Induktivität ist relevant, wenn es eine oder mehrere Drahtschleifen gibt, entlang derer Strom fließen kann. Diese Schleifen oder Spulen können aus einer oder mehreren Drahtwindungen bestehen. Wir betrachten eine Quelle, die mit einer der Spulen verbunden ist, und bezeichnen diese als Primärwicklung. Wir betrachten auch eine Last, die mit den anderen Spulen verbunden ist, die als Sekundärwicklungen bezeichnet werden. Diese Lasten können eine beliebige Kombination anderer elektrischer Geräte sein.
Mehrere Spulen im Raum, mit nichtlinearen magnetischen Materialien und Magneten in der Nähe. Zeitlich veränderliche Ströme in einer Spule induzieren Felder in den anderen Spulen proportional zum abgefangenen Fluss, der davon abhängt, wie die nichtlinearen magnetischen Materialien vorgespannt sind.
Im Raum um die Spulen herum können sich nichtlineare magnetische Materialien und Magnete befinden. Die nichtlinearen magnetischen Materialien können durch den Magneten, durch Strom, der durch eine der Spulen fließt, oder durch beides in ihren nichtlinearen Bereich gebracht werden. Immer wenn ein zeitlich variierender Strom an die Primärspule angelegt wird, wird eine elektromotorische Kraft – eine Spannung – auf allen Spulen, einschließlich der Primärspule selbst, induziert. Unter der Annahme, dass die Frequenzen des angelegten Signals weit unter der Resonanzfrequenz des Systems liegen, kann davon ausgegangen werden, dass diese elektromotorische Kraft ausschließlich auf das zeitlich veränderliche Magnetfeld zurückzuführen ist. Unter dieser Annahme ist das Feature Coil relevant.
Bei einem zeitlich variierenden Stromfluss durch eine der Spulen mit Index i ist die elektromotorische Kraft auf jede Spule mit Index j proportional zur Änderungsrate der Flussverkettung1:
Wenn wir die Kettenregel unter der Annahme anwenden, dass \Phi ausschließlich eine Funktion des momentanen Stroms ist, sehen wir, dass die induzierte Spannung ein Produkt von L’_{ij} , der differentiellen Induktivität in Bezug auf den Strom, und \dot{I_i}, der Änderungsrate des angelegten Stroms, ist:
Wenn alle Materialien im System linear sind, keine Magnete vorhanden sind und wir die induktiven Verluste in den Leitern vernachlässigen, können wir vereinfachen zu:
Dabei ist L_{ij} die Sekanteninduktivität und wird standardmäßig berechnet, wenn das Feature Coil verwendet wird. Die Berechnung der differentiellen Induktivität erfordert dagegen einige zusätzliche Schritte.
Um zu verstehen, wie die differentielle Induktivität berechnet wird, müssen wir uns zunächst mit der Flussverkettung befassen, die in einführenden Lehrbüchern für Ingenieurswissenschaften allgemein als Integral von \mathbf{B}_i beschrieben wird. \mathbf{B}_i ist der magnetische Fluss aufgrund der Erregung der Spule i, die durch die Oberfläche S_j verläuft, begrenzt durch eine dünne Drahtschleife, die die Spule j darstellt:
Wie wir jedoch aus dem obigen Bild ersehen können, haben die meisten Spulen eine beträchtliche Querschnittsfläche, sodass es nicht möglich ist, einfach eine Oberfläche S_j zu definieren. Stattdessen wenden wir den Divergenzsatz an und nehmen an, dass \mathbf{B=\nabla \times A } und berechnen \Phi als Volumenintegral des magnetischen Vektorpotentials, \mathbf{ A } mit der Richtung, in der der Strom in der Spule fließen kann, \mathbf{ J }:
Diese Größe wird bei Verwendung des Features Coil automatisch von der Software berechnet und als verketteter Fluss der Spule bezeichnet.
Dieser verkettete Fluss kann eine Funktion vieler verschiedener Variablen sein, obwohl wir zuvor angenommen haben, dass er ausschließlich eine Funktion des momentanen Stroms ist. Sehen wir uns nun an, wie die Ableitung berechnet wird, um die differentielle Induktivität zu extrahieren.
Berechnung der differentiellen Induktivität
Um die differentielle Induktivität zu berechnen, müssen wir die Ableitung des verketteten Spulenflusses in allen Spulen in Bezug auf den angelegten Strom in der Primärspule auswerten. Dies kann mit dem Interface Sensitivity erfolgen, das wir bereits in unserem Blog-Beitrag Computing Design Sensitivities in COMSOL Multiphysics® behandelt haben und kurz besprechen werden. Die Verwendung dieses Interfaces beginnt mit der Definition eines Features Global Objective, in das wir den Ausdruck für den verketteten Spulenfluss eingeben. Wir müssen außerdem mindestens eine globale Steuervariable definieren, eine Variable, die zur Differenzbildung des Ziels verwendet wird. Hier geben wir einen Variablennamen ein, der den durch die Primärwicklung fließenden Gleichstrom multipliziert. Mit dieser Einrichtung kann der Studienschritt Sensitivity mit einem Auxiliary Sweep über den angelegten Strom kombiniert werden, und die differentielle Induktivität kann über einen Bereich von angelegten Strömen berechnet werden.
Festlegen der Zielfunktion im Interface Sensitivity.
Definition der Steuervariablen im Interface Sensitivity.
Verwendung der Steuervariablen im Feature Coil, um eine Differentiation in Bezug auf den Strom einzurichten.
Sweep über eine Reihe von Strömen in Kombination mit der Berechnung der Sensitivitäten.
Erstellen Sie nach der Lösung eine Interpolationsfunktion, die sich auf eine Evaluation Group bezieht, damit die Ergebnisse der Berechnung der differentiellen Induktivität an anderer Stelle im Modell verwendet werden können.
Mit diesen Grundlagen der Theorie und des Workflows im Hinterkopf wollen wir uns nun einige Beispiele ansehen.
Ein nichtlinearer Induktor
Zunächst modellieren wir einen Magnetkern aus einer Ferrit-Legierung, einem nichtlinearen magnetischen Material mit sehr geringem Verlust. Der Kern umhüllt eine Spule, die er innen und außen umgibt. Wir behandeln das Modell als 2D-achsensymmetrisch. Die Spule besteht aus 80 Windungen eines Drahtes mit 1 mm Durchmesser und arbeitet mit 50 Hz, sodass der Skin-Effekt in diesen Drähten vernachlässigbar ist. Daher kann der Wechselstromwiderstand der Spule ziemlich genau durch den Gleichstromwiderstand vorhergesagt werden. In dieser Situation können wir das Feature Multiturn Coil Domain verwenden. Wir können das Modell im Zeitbereich lösen und den nicht-sinusförmigen Strom durch den Induktor als Antwort auf eine angelegte sinusförmige Spannung ermitteln.
Ein Induktor, der aus einer Spule um einen B-H-nichtlinearen Kern besteht.
Wir lösen dieses Modell zunächst über einen Bereich von Gleichströmen, um die differentielle Induktivität, wie unten im Plot dargestellt, zusammen mit der Sekanteninduktivität zum Vergleich zu erhalten.
Differentielle und Sekanteninduktivität des Induktors mit einem nichtlinearen magnetischen Kernmaterial über einen Bereich von angelegten Gleichströmen.
Das Ersatzschaltbild des nichtlinearen Induktors mit der differentiellen Induktivität als Funktion des Stroms.
Da wir nun diese differentielle Induktivität haben, können wir sie in einem Modell einer elektrischen Schaltung verwenden, um das Einschwingverhalten schnell vorherzusagen. Unser Modell einer elektrischen Schaltung benötigt neben dem Standard-Feature Ground Node nur drei weitere Features:
- Resistor
- Inductor
- Voltage Source
Wir verwenden das Feature Resistor mit einem Widerstand, der dem berechneten Widerstand Coil entspricht. In Reihe damit fügen wir das Feature Inductor mit einer nichtlinearen Induktivität hinzu, die über die Tabelle Interpolation definiert wird, in der unsere zuvor berechnete differentielle Induktivität gespeichert ist. Diese nichtlineare Induktivität kann als Funktion des Absolutwerts des Stroms verwendet werden, da das nichtlineare Verhalten nicht vom Vorzeichen des Stroms abhängt. Schließlich kann das Feature Voltage Source in Reihe geschaltet werden. Zusammen bilden diese drei Features ein Lumped-Modell, das die Reaktion vorhersagen kann. Die Ergebnisse dieses Lumped-Modells können mit dem Finite-Elemente-Modell verglichen werden. Beachten Sie, dass sich die Modelle in den ersten Perioden noch immer nur der periodischen stationären Reaktion dieses nichtlinearen Systems annähern.
Plot des Stroms durch die Induktivität bei angelegter Wechselspannung. Die Ergebnisse der Modelle für die elektrische Schaltung und die Magnetfelder stimmen überein.
Diese Zeitbereichsdaten können auch in den Frequenzbereich Fourier-transformiert werden, wodurch die höheren Harmonischen, die durch die Nichtlinearität des Materials entstehen, deutlicher identifiziert werden können. Da das elektrische Schaltungsmodell schnell zu lösen ist, können wir auch schnell eine Vielzahl von Betriebsbedingungen untersuchen. Wie erwartet, gibt es mehr Hochfrequenzanteile, wenn das Gerät in den nichtlinearen Bereich gebracht wird.
Plot des Frequenzinhalts des Stroms mit zunehmender Spitze-Spitze-Spannung.
Ein nichtlinearer, mit einem Magneten vorgespannter Induktor
Zur Veranschaulichung werden wir das obige Beispiel nun mit einem Magneten neben dem Kern modifizieren. Dieser Magnet trägt zum verketteten Fluss der Spule bei und polarisiert das nichtlineare Material. Die differentielle Induktivität hängt nun sowohl von der Größe als auch vom Vorzeichen des angelegten Stroms ab. Es ist wichtig zu beachten, dass die Sekanteninduktivität den Beitrag des Magneten selbst zum verketteten Fluss enthält, aber dieser zeitinvariante Fluss trägt nicht zur rückinduzierten Spannung bei. Der Magnet wirkt nur dahingehend, dass er die B-H-Beziehung von vorhandenen nichtlinearen Materialien verändert. Das heißt, ein Magnet hat keinen Einfluss auf die Reaktion eines Induktors, der nur aus linearen Materialien besteht. Es ist jedoch wichtig zu bedenken, dass ein Magnet immer eine Verzerrung in die Sekanteninduktivität einführt. Daher ist es immer am besten, mit der differentiellen Induktivität zu arbeiten, wenn in Ihrem Modell ein Magnet vorhanden ist, auch wenn alle Materialien linear sind.
Ein Magnet, der auf dem nichtlinearen B-H-Kern platziert wird, beeinflusst die Reaktion.
Die differentielle Induktivität ist in Bezug auf das Vorzeichen des Gleichstroms für den vorgespannten Induktor unsymmetrisch.
Diese differentielle Induktivität kann wiederum in einem elektrischen Schaltungmodell verwendet werden, und wir sehen erneut, dass die Ergebnisse sehr gut übereinstimmen, außer während der Anlaufphase. Diese Abweichung während der Anlaufphase verdeutlicht den Unterschied zwischen dem Modell, das die räumlich variierenden Felder und die räumliche Entwicklung der Sättigung des Kerns berechnet, und dem Lumped-Modell.
Übereinstimmung zwischen dem räumlichen Finite-Elemente-Modell und dem Lumped-Modell der Schaltung mit der vorgespannten differentiellen Induktivität.
Die nichtlineare Reaktion eines Transformators
Als Nächstes betrachten wir einen Transformator, der aus zwei identischen Spulen besteht, die um einen Kern aus Ferrit mit einem Kern aus Legierungspulver gewickelt sind. Symmetrie kann nicht nur genutzt werden, um die Modellgröße zu reduzieren, sondern auch, um die zu berechnende Datenmenge zu reduzieren, da L’_{11} = L’_{22} und L’_{12} = L’_{21}. Obwohl die differentiellen Induktivitäten im allgemeinen Fall eine Funktion sowohl von I_1, dem Strom in der Primärwicklung, als auch von I_2, dem Strom in der Sekundärwicklung, sein können, gilt für diese symmetrische Struktur L'(I_1,I_2) = L'(|I_1+I_2|,0). Das heißt, wir müssen nur die differentiellen Induktivitäten L’_{11} und L’_{12} berechnen; über einen Bereich von I_1, während I_2=0 gehalten wird, anstatt über zwei Variablen zu sweepen.
Ein Transformator, der aus zwei identischen Spulen besteht, die um einen symmetrischen Kern gewickelt sind. Die beiden Symmetrieebenen sind visualisiert.
Sobald diese beiden differentiellen Induktivitäten berechnet sind, wird ein Satz von Funktionen verwendet, um alle vier Terme der Matrix der Gegeninduktivität zu definieren. Diese Terme können in einem elektrischen Schaltungsmodell desselben Transformators verwendet werden. Aufgrund der Nichtlinearität wird die Kopplung zwischen den beiden Spulen mit dem Feature Current-Controlled Voltage Source modelliert, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.
Ersatzschaltung eines Transformators mit nichtlinearem Kernmaterial.
Die Berechnung der Reaktion dieses Transformators unter Verwendung des vollständigen dreidimensionalen Modells ist mit einem erheblichen Rechenaufwand verbunden, während die Berechnung des elektrischen Schaltungsmodells sehr schnell ist. Die Ergebnisse stimmen wiederum sehr gut überein, obwohl es wichtig ist, dass die differentielle Induktivitätsmatrix über alle möglichen Betriebsbedingungen berechnet wird. Diese einmaligen Kosten für die Berechnung der differentiellen Induktivitätsmatrix können durch einen batch sweep or Cluster Sweep parallelisiert werden, um alle verfügbaren Rechenressourcen zu nutzen.
Eine sinusförmige Wechselspannung, die an die Primärseite angelegt wird, führt zu einem nichtlinearen Strom durch die Primär- und Sekundärseite. Die Spannung an der Primärseite und der Strom an der Sekundärseite werden zwischen dem vollständigen Modell und dem elektrischen Schaltungsmodell verglichen.
Die dynamische Reaktion einer Zylinderspule
Betrachten wir nun einen Elektromagneten, der aus einer Spule in einem Eisengehäuse mit einem Eisenkolben besteht. Der Kolben ist so montiert, dass er sich nur entlang seiner Achse bewegen kann. Wir gehen davon aus, dass die Permeabilität des Eisens über den Bereich der erwarteten Felder konstant ist, und vernachlässigen Material-Nichtlinearitäten. Wir gehen außerdem davon aus, dass das Gehäuse und der Kolben aus Teilen bestehen, die mit einem Isoliermaterial miteinander verbunden sind, wodurch induzierte Ströme, die um die Achse zirkulieren, minimiert werden, und betrachten das Eisen daher als verlustfrei.
Eine Zylinderspule, die aus einer Spule in einem Eisengehäuse besteht, mit einem Eisenkolben, der durch eine Feder in Position gehalten wird.
Eine Feder hält den Kolben außerhalb des Gehäuses in seiner Gleichgewichtslage. Wenn eine Spannung an die Spule angelegt wird, beginnt Strom zu fließen und drückt den Kolben in Richtung Mitte. In dieser Situation gibt es keine materielle Nichtlinearität, sodass der verkettete Fluss linear vom zeitabhängigen Strom I abhängt, sich aber nichtlinear mit span class=”latex”>u, der z-Position des Kolbens, ändert:
Also ist die rückinduzierte Spannung nach der Kettenregel:
Der erste Term berücksichtigt die Tatsache, dass die Sekanteninduktivität variiert, wenn sich die Position des Kolbens ändert. Der zweite Term führt eine zusätzliche rückinduzierte Spannung ein, wenn sich der Kolben mit einer Geschwindigkeit \dot{u} durch ein Magnetfeld bewegt, das nicht Null ist.
Wenn man bedenkt, dass der verkettete Fluss linear mit dem angelegten Gleichstrom, I_{DC}, ist, und die erste Gleichung nach der Position differenziert, wenn ein Gleichstrom angelegt wird, sehen wir, dass:
Um also die Ableitung in Bezug auf die Position zu berechnen, verwenden wir das Interface Sensitivity in Verbindung mit dem Interface Moving Mesh, um die partielle Ableitung des verketteten Flusses in Bezug auf eine infinitesimale Änderung \delta der z-Position bei einem festen Gleichstrom zu berechnen:
Wir verwenden das Moving Mesh, um sowohl eine endliche als auch eine infinitesimale Änderung in der z-Position einzuführen und die partielle Ableitung nur in Bezug auf die infinitesimale Verschiebung \delta zu nehmen, während wir einen Bereich verschiedener Positionen u entlang des Kolbens abtasten. Diese partielle Ableitung ermöglicht es uns nun, ein einfaches elektromechanisches Punktmodell zu erstellen, das das Schaltungsmodell mit einer Bewegungsgleichung des Kolbens koppelt.
Das elektromechanische Lumped-Modell besteht aus einem Schaltungsmodell und einem mechanischen Lumped-Modell, die durch die Kraft, die positionsabhängige Sekanteninduktivität und die rückinduzierte Spannung bei Bewegung des Kolbens miteinander verbunden sind.
Wie wir aus der Skizze des Lumped-Systems ersehen können, ist das elektrische System über die Kraft mit dem mechanischen System gekoppelt. Um zu verstehen, wie wir zu dem Ausdruck für die Kraft gelangen, betrachten wir den Ausdruck für die gesamte magnetische Energie im System, die sich mit dem Strom und der Position des Kolbens ändert:
Die Gesamtkraft auf den Kolben kann über die Methode der virtuellen Arbeit ermittelt werden, wobei im Fall von linearen magnetischen Materialien die Kraft in axialer Richtung durch die partielle Ableitung der gesamten magnetischen Energie in Bezug auf eine infinitesimale Verschiebung gegeben ist:
Das heißt, die Kraft ist eine Funktion des Stroms durch die Spule und der partiellen Ableitung der Induktivität in Bezug auf die Position, die wir bereits berechnet haben. Zusammen mit unserem Modell der Zylinderspule lösen wir also gleichzeitig die gewöhnliche Differentialgleichung für die Position des Kolbens:
wobei u_0 die Gleichgewichtslage des Kolbens ist. Diese Gleichung kann über ein separates Interface Global ODEs and DAEs oder über das Feature Global Equations gelöst werden, das zu jedem beliebigen Physik-Interface hinzugefügt werden kann. Diese Gleichung kann also verwendet werden, um die Bewegung in Verbindung mit der Lösung für das Interface Magnetic Fields zu berechnen, und sie kann in Verbindung mit dem Interface Electrical Circuit gelöst werden.
Wir lassen den Kolben frei entlang der Achse schwingen und untersuchen die Ergebnisse im Hinblick auf eine Reihe von Eingaben, die eine interessante Dynamik erzeugen, um zu veranschaulichen, dass das Lumped-Modell sehr gut mit dem räumlichen Modell übereinstimmt, das zur Berechnung der Lumped-Parameter verwendet wird.
Vergleich zwischen dem detaillierten Modell der Magnetfelder des Solenoids und dem Lumped-Modell.
Erstellen Sie Ihre eigenen Lumped-Modelle
Wir haben uns hier vier Beispiele angesehen, die die Fähigkeiten der Software COMSOL Multiphysics® hervorheben, nicht nur die differentielle Induktivität, sondern auch die Ableitung des verketteten Spulenflusses in Bezug auf andere Eingaben zu extrahieren. Die resultierenden Größen können verwendet werden, um leichtgewichtige Lumped-Modelle zu erstellen, die gute Vorhersagen für die Systemleistung liefern.
Möchten Sie selbst differentielle Induktivitäten extrahieren und ein Lumped-Modell erstellen? Laden Sie die Beispiele aus der Application Gallery herunter:
Referenz
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- D. Cheng, “Field and Wave Electromagnetics”, 2nd ed., Addison-Wesley, 1991
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