Modellierung von Anregungen mit dem Interface Magnetic Fields Formulation

Bei der Verwendung des AC/DC Modules, einem Add-On zu der Software COMSOL Multiphysics^®, stehen fünf Interfaces zur Verfügung, mit denen wir zeitabhängige Magnetfelder und induktive Effekte modellieren können. Jedes löst eine andere Form der Maxwell-Gleichungen und bietet unterschiedliche Vorteile bei der Modellierung. Hier werden wir uns eingehend mit einem dieser Interfaces befassen, nämlich dem Interface Magnetic Field Formulation (MFH), und erläutern, wie man es zur Modellierung induktiver Phänomene einsetzt.

Ein kurzer Überblick über die verschiedenen Formulierungen

Die fünf Interfaces, die zur Berechnung zeitabhängiger Magnetfelder im AC/DC Module verwendet werden können, sind:

• Magnetic Fields
• Magnetic and Electric Fields
• Magnetic Fields, Currents Only
• Rotating Machinery, Magnetic
• Magnetic Fields Formulation

Das erste davon, das Interface Magnetic Fields, ist bei weitem das am häufigsten verwendete und bildet das Rückgrat der meisten induktiven Modellierungen. Es berechnet das magnetische Vektorpotential, das \mathbf{A}-Feld, und bietet praktische Möglichkeiten zur Anregung von Strukturen, wie beispielsweise: Lumped-Port-Randbedingungen, Gebietsbedingungen für Spulen und Hintergrundfeldanregungen. Die meisten Anwender beginnen ihre Modellierung mit diesem Interface – und das sollten sie auch.

Das nächste Interface, Magnetic and Electric Fields, berechnet sowohl das \mathbf{A}-Feld als auch das elektrische Potential, das \mathbf{V}-Feld, verwendet also eine \mathbf{A} –\mathbf{V}-Formulierung, was zusätzliche Komplexität mit sich bringt. Dieser Mehraufwand ist vor allem in zwei Fällen gerechtfertigt:

• Bei der Lösung von magnetohydrodynamischen Modellen
• Bei der Lösung im Netzfrequenzbereich, wo die Verluste in Dielektrika und an Grenzflächen präzise modelliert werden müssen

Das Interface Magnetic Fields, Currents Only ist ausschließlich dann sinnvoll, wenn keine magnetischen Materialien vorhanden sind. Es ist in erster Linie für die Berechnung von Teilinduktivitäten vorgesehen. Es berechnet auch das \mathbf{A}-Feld, verwendet dabei jedoch Lagrange-Elemente anstelle von Curl-Elementen, wodurch der Rechenaufwand geringer ist.

Das Interface Rotating Machinery, Magnetic dient, wie der Name schon sagt, der Modellierung von Motoren und Generatoren. Diese Formulierung ermöglicht es, dass sich Teile drehen und relativ zueinander bewegen, indem sowohl das magnetische Vektorpotential als auch das magnetische Skalarpotential, das V_\text{m}-Feld, berechnet werden, was jedoch mit zusätzlichem Aufwand und höherer Komplexität verbunden ist. Eine Einführung finden Sie in unserer Tutorial-Serie Motor.

Diese Formulierungen leiten sich alle aus den Maxwell-Gleichungen ab und berechnen alle das \mathbf{A}-Feld, entweder allein oder in Verbindung mit einem zusätzlichen Feld. Im Gegensatz dazu steht das Interface Magnetic Fields Formulation, das natürlich ebenfalls aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet ist, jedoch stattdessen das Magnetfeld, das \mathbf{H}-Feld, berechnet, im Zeitbereich in der folgenden Form:

sowie im Frequenzbereich:

Die Lösungen dieser Gleichungen sind ebenfalls Lösungen der Maxwell-Gleichungen. Warum sollten wir also diese Formulierung anstelle der \mathbf{A}-Feld-Formulierungen verwenden? Dafür gibt es (mindestens) zwei Gründe:

• Bei der Behandlung nichtlinearer Materialien ist es möglich, bestimmte Arten von Nichtlinearitäten in Bezug auf die in Supraleitern auftretenden Ströme einzuführen und gleichzeitig einfachere Methoden zur Einbeziehung von Nichtlinearitäten in Bezug auf das Magnetfeld zuzulassen.
• Die \mathbf{H}-Feld-Formulierung lässt verschiedene Arten der Anregung des Systems zu. Je nach Ihren Modellierungsanforderungen können diese den Modellaufbau vereinfachen.

Genau diesen zweiten Punkt werden wir hier im Zusammenhang mit der Modellierung im Frequenzbereich näher untersuchen. Die meisten der von uns vorgestellten Anregungsformen im Frequenzbereich lassen sich auch im Zeitbereich anwenden, wobei es einige wenige Ausnahmen gibt, auf die wir ausdrücklich eingehen werden.

Die gemeinsamen Randbedingungen

Das Interface Magnetic Field Formulation bzw. das \mathbf{H}-Feld-Interface umfasst vier Randbedingungen, die auch bei den \mathbf{A}-Feld-Formulierungen vorkommen und dieselbe Interpretation haben:

• Magnetic Insulation: Diese wird in erster Linie als Grenze zu einem perfekt leitfähigen Material interpretiert. Eine Erörterung der verschiedenen anderen Interpretationsmöglichkeiten dieser Randbedingung finden Sie in unserem Artikel im Learning Center: “Understanding the Magnetic Insulation Boundary Condition”.
• Randbedingung Perfect Magnetic Conductor: Diese Randbedingung wird in erster Linie entweder als eine Grenze zu einem nichtleitenden Medium oder als eine Art Symmetriebedingung interpretiert. Weitere Einzelheiten finden Sie in unserem Blog-Beitrag: “Exploiting Symmetry to Simplify Magnetic Field Modeling”
• Randbedingung Periodic Condition: Diese Bedingung legt Periodizität fest, beispielsweise für Strukturen mit einer Verdrehung (wie Unterseekabel).
• Randbedingung Impedance Boundary Condition: Diese Bedingung modelliert das Vorhandensein eines verlustbehafteten Materials, das an den modellierten Raum angrenzt. Es handelt sich um eine Randbedingung im Frequenzbereich, die nur verwendet werden sollte, wenn die Eindringtiefe deutlich kleiner ist als die Größe des Bauteils. Weitere Einzelheiten finden Sie in Abschnitt 4 unseres Artikels im Learning Center: “Understanding the Options for Meshing and Geometric Modeling of Conductors in Electromagnetic Fields”.

Diese Bedingungen führen für sich genommen zwar keine Anregungen ein, können jedoch Teil des solenoidalen Strompfades sein, der für die Aufstellung eines lösbaren Modells erforderlich ist. Das heißt, auch wenn sie keinen Strom anregen, können sie einen Pfad definieren, entlang dessen Strom fließen kann.

Die spezifischen Randbedingungen des Interfaces Magnetic Field Formulation (MFH)

Die drei Randbedingungen, die nur im MFH-Interface vorkommen und zur Einführung von Anregungen verwendet werden können, sind:

• Randbedingung Tangential Magnetic Field: Hiermit wird die inhomogene Dirichlet-Bedingung festgelegt.
• Randbedingung Tangential Electric Field: Hiermit wird eine inhomogene Neumann-Bedingung eingeführt.
• Randbedingung Surface Magnetic Current Density: Hierbei handelt es sich ebenfalls um eine inhomogene Neumann-Bedingung, die jedoch einen Sprung im elektrischen Feld über eine innere Grenze innerhalb des Modellraums bewirken kann.

Wie ihre Bezeichnungen bereits andeuten, beziehen sich diese Randbedingungen auf die tangentialen Komponenten der Felder an den Rändern, an denen sie angewendet werden. Würden Sie ein Feld eingeben, das rein senkrecht zum Rand steht, entspräche dies einem Beitrag von Null. Das heißt, die Randbedingung Tangential Magnetic Field mit einer tangentialen Komponente von Null wäre gleichbedeutend mit der Randbedingung Perfect Magnetic Conductor, und die Randbedingung Tangential Electric Field ohne tangentiale Komponente würde sich auf die Randbedingung Magnetic Insulation reduzieren. Diese Randbedingungen können das System nur anregen, wenn entweder das elektrische oder das magnetische Feld eine zum Rand tangentiale Komponente aufweist.

Um unser Verständnis dieser Anregungen zu vertiefen, werden wir ein Modell eines Koaxialkabels verwenden. Es ist erwähnenswert, dass das Koaxialkabel trotz seiner offensichtlichen Einfachheit wahrscheinlich eine der besten Möglichkeiten darstellt, sich mit Elektromagnetik vertraut zu machen, zumal es analytische Lösungen für die Abhängigkeit des elektrischen und des magnetischen Feldes vom Radius gibt:

wobei das elektrische Feld radial nach außen gerichtet ist und das magnetische Feld um den Mittelpunkt zirkuliert. Wir werden zunächst diese Ausdrücke heranziehen, um unser Modell anzuregen, und anschließend darauf aufbauen.

Einführung einer elektrischen Potentialdifferenz mit Tangential Electric Field

Zunächst legen wir an einem Ende des Modells eine elektrische Potentialdifferenz zwischen dem inneren und dem äußeren Leiter an und schließen das andere Ende kurz. Der Kurzschluss wird über die Randbedingung Magnetic Insulation am gegenüberliegenden Ende festgelegt, und der isolierende Raum um die Außenseite des Koaxialkabels wird über die Randbedingung Perfect Magnetic Conductor modelliert. Um die elektrische Potentialdifferenz anzulegen, wird die Randbedingung Tangential Electric Field auf die Querschnittsflächen an einem Ende angewendet, wobei das elektrische Feld innerhalb der Leiter auf Null gesetzt wird und die obige Gleichung zur Definition des Feldes über der ringförmigen Fläche des Dielektrikums verwendet wird.

Die Ergebnisse sind nachstehend dargestellt. Durch den inneren und den äußeren Leiter fließen Ströme, und bei der Betriebsfrequenz lässt sich die Eindringtiefe im Plot der Verluste innerhalb des Volumens erkennen. Die Pfeildarstellungen der elektrischen und magnetischen Felder sowie der Stromfluss entsprechen den Erwartungen, die man an einen kurzgeschlossenen Abschnitt eines Koaxialkabels haben würde. Der Stromfluss verläuft hauptsächlich entlang der Kabelachse und wird über die gesamte Länge gleichmäßig in Wärme umgewandelt. Der Kurzschluss an den äußeren Enden bedeutet, dass keine elektrischen Felder vorhanden sind.

Plot der Erwärmung (links) sowie des elektrischen Feldes (rot), des magnetischen Feldes (grün) und des Stromflusses (blau) in einem Koaxialkabel, das an einem Ende durch ein elektrisches Feld angeregt und am anderen Ende kurzgeschlossen ist (rechts).

Die Verluste innerhalb des Dielektrikums sind zwar gering, jedoch ungleich Null. Dies liegt daran, dass die \mathbf{H}-Feld-Formulierung in allen Gebieten eine von Null verschiedene Leitfähigkeit voraussetzt, es sei denn, die Lösung erfolgt im Frequenzbereich bei sehr hohen Frequenzen, bei denen die Verschiebungsströme signifikant sind. Diese Leitfähigkeit wird häufig als numerischer Stabilisierungsterm bezeichnet. Durch die Verwendung eines direkten Lösers lässt sich diese Stabilisierungsleitfähigkeit sehr gering halten. Wir verwenden hier einen Ausdruck für die elektrische Leitfähigkeit, bei dem die Eindringtiefe in den Isolatoren etwa 1000-mal größer ist als das Gebiet. Darüber hinaus müssen wir bei Modellen, die numerisch signifikante induktive Effekte beinhalten – was auf die meisten Fälle im Zeit- und Frequenzbereich zutrifft – kein Gauge Fixing anwenden.

Es ist wichtig zu beachten, dass, obwohl ein Koaxialkabel eine Art Übertragungsleitung ist, bei diesem Modell keine Stromübertragung stattfindet. Das stationäre elektrische Feld speist Energie ein, die innerhalb des modellierten Raums vollständig in Wärme umgewandelt wird. Es findet weder eine Übertragung noch eine Reflexion statt. Um dies zu berücksichtigen, werden wir nun zum nächsten Typ von Randbedingungen übergehen.

Verwendung der Randbedingung Surface Magnetic Current Density

Um an beiden Enden des Koaxialkabels einen Rand zum nicht modellierten Raum einzuführen, müssen wir das Konzept der Impedanz einführen – also die Beziehung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern. Innerhalb des Koaxialkabels lautet die Impedanz bekanntlich:

und damit lässt sich die magnetische Oberflächenstromdichte wie folgt definieren:

wobei \mathbf{H}_t die Tangentialkomponente des \mathbf{H}-Feldes entlang der Ränder ist. Diese Bedingung kann verwendet werden, um eine Impedanz an beiden Enden des Kabels zu modellieren. Wir können noch einen Schritt weitergehen und zusätzlich einen Quellterm einführen:

Der Faktor zwei ergibt sich daraus, dass der Quellterm sowohl ein Signal anregt, das sich im Modellgebiet ausbreitet, als auch ein Signal, das sich zum Rand hin ausbreitet. Dieser Faktor zwei setzt voraus, dass die Impedanz des modellierten Raums mit der Impedanz der durch den Rand dargestellten Übertragungsleitung übereinstimmt; jede Impedanzfehlanpassung führt daher zu einer gewissen Reflexion. Dieses Verhalten ähnelt in gewisser Weise der Randbedingung Lumped Port vom Typ Cable. Allerdings erfolgt bei der Randbedingung Lumped Port im Interface Magnetic Fields die Anregung über einen Oberflächenstrom, während die Anregung im Interface MFH über ein elektrisches Feld erfolgt; daher sind die beiden nicht exakt vergleichbar. Beachten Sie, dass die Randbedingung Surface Magnetic Current Density gemeinsam mit anderen Neumann-Bedingungen beiträgt; daher kann ein separates Feature verwendet werden, um den Quellterm zum Term der angepassten Impedanz hinzuzufügen.

Plot der Erwärmung (links) sowie der elektrischen und magnetischen Felder und des Stromflusses (rechts) in einem Koaxialkabel mit angepasster Impedanz an beiden Enden und einer Anregung an einem Ende.

Aus den obigen Plots geht hervor, dass Strom durch das Kabel fließt; somit verfügen wir nun über ein Modell eines Zwei-Port-Bauteils. Es ist jedoch wichtig anzumerken, dass nur die Frequenzbereichsform der \mathbf{H}-Feld-Formulierung den Beitrag des Verschiebungsstroms berücksichtigt. Die Zeitbereichsform berücksichtigt ausschließlich die induktiven und leitenden Ströme; es handelt sich also nicht um eine Vollwellen-Formulierung, sondern vielmehr um eine quasistatische Formulierung. Wenn Sie transiente Wellenphänomene modellieren möchten, verwenden Sie das Interface Electromagnetic Waves, Transient, eine \mathbf{A} -Feld-Formulierung, wie in diesem Artikel des Learning Centers beschrieben: “Modeling Capacitive Discharge”.

Manchmal interessiert uns jedoch nicht der Stromfluss, sondern ausschließlich die Verluste innerhalb der Leiter. In einem Koaxialkabel beispielsweise treten die meisten Verluste im Innenleiter auf, sodass wir möglicherweise nur diesen Leiter analysieren und die Verluste im Außenleiter außer Acht lassen möchten. Häufig möchten wir zudem einen festen Strom annehmen. Hierfür verwenden wir die letzte Randbedingung Tangential Magnetic Field.

Festlegen eines Stroms mithilfe von Tangential Magnetic Field

Wenn wir auf unsere analytischen Ausdrücke für das Magnetfeld zurückblicken, stellen wir fest, dass wir genau wissen, wie es zwischen dem inneren und dem äußeren Leiter aussehen wird, und dass dieser Ausdruck für die tangentiale Komponente eines koaxialen Zylinders gilt. Damit können wir unser Modell auf einen zylindrischen Raum um den inneren Leiter herum reduzieren und an dessen Außenseite die Randbedingung Tangential Magnetic Field anwenden. Konzeptionell entspricht dies der Vorgabe einer tangentialen Oberflächenstromdichte; daher verwenden wir diese in Verbindung mit der Randbedingung Magnetic Insulation an der Ober- und Unterseite, um einen solenoidalen Strompfad durch den inneren Leiter zu erzeugen. Durch die Vorgabe eines Magnetfelds an der Außenseite induzieren wir einen Stromfluss innerhalb des inneren Leiters. Dabei müssen wir jedoch etwas vorsichtig vorgehen, da dies eine interessante Konsequenz hat.

Plot der Oberflächenströme und der Erwärmung (links) sowie der elektrischen und magnetischen Felder und des Stromflusses (rechts) in einem Koaxialkabel, das mit einem vorgegebenen tangentialen Magnetfeld entlang der Außenseite angeregt wird. Das Netz an den Rändern der Anregung ist auf die Richtung des Stromflusses ausgerichtet, die sich aus dem angelegten tangentialen Magnetfeld ergibt.

Das von uns angelegte Magnetfeld ist exakt, doch das Finite-Elemente-Netz, auf das es angewendet wird, stellt eine unvollkommene Beschreibung eines Zylinders dar. Es kann stets zu einem gewissen geometrischen Diskretisierungsfehler kommen, der dazu führt, dass die modellierte Geometrie im Finite-Elemente-Raum scharfe Ecken und Kanten aufweist. Diese führen zu lokalen Singularitäten, die in der Nähe der Ränder zu Feldern führen können, die sehr verrauscht wirken. Wir können dieses Problem vermeiden, indem wir sicherstellen, dass das Netz in Richtung des Stromflusses ausgerichtet ist, wie in der Abbildung oben dargestellt.

Es gibt noch ein weiteres Merkmal dieser Methode, das erwähnenswert ist. Anhand des Plots ist zu erkennen, dass das elektrische Feld nun entlang der Kabelachse ausgerichtet ist, anstatt zwischen dem inneren und dem äußeren Leiter zu verlaufen, und dass der Stromfluss nach innen in Richtung des Zentrums gerichtet ist. Dies stellt eine völlig andere Art der Anregung dar, und man könnte argumentieren, dass eine solche Anregung physikalisch nicht realisierbar ist. Im Hinblick auf die Stromverteilung, die Magnetfelder und die Erwärmung innerhalb des Leiters ist dies dennoch ein nützlicher Modellierungsansatz.

Bis hierhin haben wir uns drei verschiedene Möglichkeiten zur Anregung einer Struktur angesehen. Kurz zusammengefasst:

1. Die Randbedingung Tangential Electric Field kann verwendet werden, um eine Potentialdifferenz zwischen den Leitern eines Bauteils festzulegen.
2. Die Randbedingung Surface Magnetic Current Density ermöglicht die Modellierung eines Rands mit festgelegter Impedanz in Verbindung mit einem elektrischen Potentialquellenterm.
3. Die Randbedingung Tangential Magnetic Field kann verwendet werden, um einen bekannten Strom festzulegen.

Auch wenn wir uns hier mit einer einfachen Geometrie befasst haben, lassen sich genau dieselben Techniken auf komplexere Bauteile anwenden, sofern Sie folgende Punkte beachten:

• Das elektrische Feld sollte am Querschnitt einer TEM-Übertragungsleitung oder an einem Abschnitt des Modells festgelegt werden, an dem die Annahme rotationsfreier Felder sinnvoll ist.
• Verschiebungsströme werden im Frequenzbereich berücksichtigt, nicht jedoch im Zeitbereich.
• Die Ränder des Magnetfelds haben eine andere physikalische Interpretation, führen jedoch hinsichtlich der Erwärmung zu einem äquivalenten Ergebnis und erfordern eine sorgfältige Vernetzung.

Wir möchten nun noch zwei weitere Möglichkeiten zur Anregung solcher Modelle vorstellen, die spezifisch für die \mathbf{H}-Feld-Formulierung sind.

Festlegen einer Nebenbedingung innerhalb eines geschlossenen Strompfads

Eine der Kernfunktionen der Modellierungsarchitektur von COMSOL Multiphysics^® ist die Fähigkeit, die in der Benutzeroberfläche eingegebenen symbolischen Ausdrücke automatisch zu interpretieren. Dies umfasst nicht nur die symbolische Ableitung, sondern erstreckt sich auch auf die Elimination von Nebenbedingungen. Obwohl eine vollständige Beschreibung der Funktionsweise den Rahmen dieses kurzen Artikels sprengen würde, werden wir Ihnen hier vorstellen, wie dies innerhalb der Benutzeroberfläche umgesetzt wird.

Wir kehren zu unserem vorherigen Modell zurück, das lediglich aus dem Innenleiter des Koaxialkabels und dem ihn umgebenden Dielektrikum besteht, und fügen nun auf halber Strecke entlang des Innenleiters eine Kante ein. Wir möchten die Bedingung festlegen, dass ein bestimmter Gesamtstrom entlang des Leiters fließt, und aus dem Ampèreschen Gesetz wissen wir, dass das Linienintegral des Magnetfelds entlang eines geschlossenen Weges dem durch diesen fließenden Strom entspricht:

oder für nichtmagnetische Materialien:

Wir können eine Integration verwenden, um diesen Strom zu berechnen, und anschließend das Feature Global Constraint nutzen, um die Bedingung festzulegen, dass dieses Integral dem gewünschten Strom entsprechen muss. Anschließend kümmert sich COMSOL^® um alles Weitere, und wir können uns die Lösung ansehen.

Screenshot des Features Global Constraint, das den Stromfluss durch eine Integrationsschleife über eine Reihe von Kanten innerhalb des Interfaces Magnetic Field Formulation festlegt.

Plot der Erwärmung (links) sowie der elektrischen und magnetischen Felder und des Stromflusses (rechts) in einem Koaxialkabel, das unter einem Global Constraint angeregt wird.

Beachten Sie, dass die Stromverteilung und das Erwärmungsprofil mit dem vorherigen Modell übereinstimmen. Auch das Magnetfeld entspricht den analytischen Erwartungen. Das elektrische Feld und der Stromfluss geben jedoch erneut Anlass zum Nachdenken. Der Stromfluss impliziert, dass die Kante als eine Art innere Linienquelle wirkt, doch auch dies stellt etwas dar, das physikalisch nicht realisierbar ist, sodass das elektrische Feld keine Aussagekraft besitzt. Dennoch können die Stromverteilung und die Erwärmung aus einem solchen Modell verwendet werden. Beachten Sie außerdem, dass die Erwärmungsverteilung um die Anregungskante herum glatt verläuft.

Der Vorteil dieses Ansatzes besteht darin, dass wir einen Stromfluss durch jede Art von Struktur anregen können. Wir müssen an den Rändern des Modellraums keine Anregung vornehmen. Das heißt, wir können eine leitfähige Schleife, die sich vollständig innerhalb des Modellraums befindet, anregen oder unterschiedliche Ströme in verschiedenen Leitern erzeugen.

Kopplung der Interfaces Magnetic Field Formulation und Magnetic Fields, No Currents

Die letzte Art der Anregung, die wir behandeln werden, erfolgt unter Verwendung eines weiteren Physik-Interfaces, nämlich des Interfaces Magnetic Fields, No Currents. Dieses Interface berechnet das magnetische Skalarpotential, das V_\text{m}-Feld, und ist, wie der Name schon sagt, klassischerweise für die Modellierung von Systemen vorgesehen, in denen keine Ströme vorhanden sind.

Das V_\text{m}-Feld-Interface kann jedoch in Kombination mit der \mathbf{H}-Feld-Formulierung unter Verwendung der Randbedingung Magnetic Scalar Potential Discontinuity eine Anregung erzeugen. Diese Bedingung muss auf einen Rand angewendet werden, der den Querschnitt einer geschlossenen Stromschleife darstellt. Der Strom kann entweder durch das Volumen eines leitfähigen Gebiets fließen, das mithilfe des \mathbf{H}-Feldes modelliert wird, oder implizit entlang der magnetischen Isolationsränder des V_\text{m}-Feld-Interfaces.

Schematische Darstellung eines Koaxialkabels, das unter Verwendung des \mathbf{H}–V_\text{m}-Ansatzes angeregt wird. Die Ränder der Magnetic Scalar Potential Discontinuity (grün) regen einen Stromfluss entlang eines solenoidalen Pfades durch die beiden leitenden Gebiete (grau) an, die unter Verwendung der \mathbf{H}-Feld-Formulierung modelliert wurden, sowie entlang der Ränder der Magnetic Insulation (gelb) am oberen und unteren Rand des Modellierungsgebiets. Die Pfeile veranschaulichen diesen Stromkreis um den Anregungsrand herum.

Die \mathbf{H}–V_\text{m}-Formulierung weist weniger Freiheitsgrade auf als die \mathbf{H}-Feld-Formulierung, kann jedoch mit einem höheren Rechenaufwand verbunden sein, da die resultierende Systemmatrix unsymmetrisch ist und in der Regel einen direkten Löser erfordert. Sie ist konzeptionell und mitunter auch geometrisch komplex. Sie hat den Vorteil, dass Freiraumgebiete als verlustfrei modelliert werden können, allerdings findet über diese Gebiete hinweg keine kapazitive Kopplung statt. Tatsächlich wird in den nichtleitenden Gebieten nur das Magnetfeld berechnet, sodass das elektrische Feld und damit auch der Stromfluss nicht definiert sind. Es können lediglich die Magnetfelder, Ströme und Verluste innerhalb des Leiters ermittelt werden.

Plot der Erwärmung (links) und des Magnetfelds (rechts) in einem Koaxialkabel, das unter Verwendung der \mathbf{H}–V_\text{m}-Formulierung modelliert wurde.

Ein kurzer Überblick über weitere Möglichkeiten

Die Vielfalt der induktiven Modellierungsansätze im Niederfrequenzbereich, die mit diesen Anregungsmethoden der \mathbf{H}-Feld-Formulierung behandelt werden können, ist nahezu unbegrenzt. Es sei jedoch betont, dass die bloße Möglichkeit, diese Ansätze anzuwenden, nicht zwangsläufig bedeutet, dass dies auch getan werden sollte. Dies ist vielmehr eine Entscheidung, die von Fall zu Fall getroffen werden muss. Vor diesem Hintergrund folgen hier einige kurze Beispiele für weitere Anwendungsmöglichkeiten dieser Ansätze.

Modellierung einer Einheitszelle eines verdrillten Kabels

Die Randbedingung Periodic Condition kann auf Flächen angewendet werden, die identisch sind, sich jedoch relativ zueinander verdrehen. Diese Randbedingung wird am Beispiel eines verdrehten Seekabels veranschaulicht und lässt sich mit dem Ansatz kombinieren, den Strom über einen Global Constraint anzuregen.

Ein Einheitszellenmodell eines Viertels eines verdrillten Dreiphasenkabels. Die Ergebnisse für den modellierten Abschnitt lassen sich über die gesamte Länge darstellen und zeigen die Erwärmung sowie das Magnetfeld.

Modellierung einer symmetrischen Spule

Bei der Nutzung von Symmetrien ist es oft nicht praktikabel, die Lumped-Port-Anregung innerhalb des Interfaces Magnetic Fields zu verwenden; in der Regel muss eine Bedingung für das Gebiet vom Typ Coil verwendet werden. Dies hat bei hohen Frequenzen den Nachteil, dass die Eindringtiefe der Spule sehr sorgfältig vernetzt werden muss. Verwendet man stattdessen das Interface MFH, kann die Ansteuerspule mithilfe der Impedance Boundary Condition modelliert und der Strom über die Methode eines Global Constraint vorgegeben werden.

Ein symmetrisches Modell eines induktiv erwärmten Werkstücks unter Verwendung der \mathbf{H}-Feld-Formulierung (links) und der \mathbf{A}-Feld-Formulierung (rechts). Die eingebrachte Wärme ist sehr ähnlich.

Modellierung eines leitfähigen Festkörpers in einem Wechselstrom-Hintergrundfeld

Wird eine leitfähige Komponente einem Wechselstrom-Magnetfeld ausgesetzt, entstehen im Volumen des Materials induzierte Ströme. Solange die Komponente keine Löcher aufweist, die einen Teil des Feldes abfangen könnten, lässt sich dies mithilfe der gekoppelten \mathbf{H}–V_\text{m}-Formulierung modellieren. Dabei ist es zwingend erforderlich, dass das leitfähige Material keinen geschlossenen Stromkreis bildet.

Bei Verwendung der \mathbf{H}–V_\text{m}-Formulierung ist die resultierende Systemmatrix nicht symmetrisch, sodass der Rechenaufwand schneller ansteigt als bei Verwendung der \mathbf{H}-Feld-Formulierung in allen Gebieten oder der \mathbf{A}-Feld-Formulierung, trotz der geringeren Anzahl an Freiheitsgraden. Sie ist daher vor allem dann sinnvoll, wenn das Verhältnis des Teilvolumens zum gesamten Modellierungsvolumen sehr gering ist.

Ein spiralförmiges Drahtstück, das einem Wechselstrom-Magnetfeld ausgesetzt ist. Beachten Sie, dass der Draht keine geschlossene Schleife bildet. Das \mathbf{H}-Feld wird innerhalb des Drahtes berechnet und durch die Randbedingungen angeregt, die für das im umgebenden Raum berechnete V_\text{m}-Feld gelten.

Abschließende Bemerkungen

Wir haben nun einige Möglichkeiten aufgezeigt, wie die \mathbf{H}-Feld-Formulierung zur Lösung induktiver Problemstellungen angeregt werden kann, und natürlich gibt es noch viele weitere Varianten dieser Techniken. Obwohl diese Beispiele alle im Frequenzbereich gelöst werden, können sie unter Berücksichtigung der zuvor genannten Einschränkungen auch im Zeitbereich betrachtet werden. Mit diesen Beispielen im Gepäck sind wir bereit, die Möglichkeiten der elektromagnetischen Modellierung mit dem AC/DC Module weiter zu erkunden.

Bemerkenswert ist außerdem, dass viele dieser Beispiele direkte Löser verwenden. Mit dem NVIDIA CUDA^® Direct Sparse Solver (NVIDIA cuDSS), der in COMSOL^® Version 6.4 verfügbar ist, können größere Probleme in kürzerer Zeit gelöst werden als je zuvor.

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