Induktive Erwärmung temperaturabhängiger magnetischer Werkstoffe

Eine der Herausforderungen im Bereich der induktiven Erwärmung ist die Modellierung der nichtlinearen Eigenschaften der zu erwärmenden Werkstoffe. Alle Materialien verhalten sich in Abhängigkeit von der Temperatur nichtlinear; magnetische Materialien verhalten sich zudem in Abhängigkeit vom Magnetfeld nichtlinear. Die Einbeziehung dieser Nichtlinearitäten in ein Modell ist für die Genauigkeit unerlässlich. Hier betrachten wir eine besonders praktische Methode unter Verwendung des Interfaces Magnetic Field Formulation im AC/DC Module, einem Add-On zu der Software COMSOL Multiphysics^®.

Warum die induktive Erwärmung eine Herausforderung für die Modellierung darstellt

Die induktive Erwärmung findet in der Materialbearbeitung aus vielen Gründen breite Anwendung, darunter:

• Das Werkstück wird indirekt erwärmt.
• Der betroffene Bereich kann sich in das Materialinnere erstrecken.
• Das Erwärmungsprofil im Zeitverlauf lässt sich durch Veränderung des Betrags und der Frequenz der Anregungsströme sehr präzise steuern.

Eine präzise Steuerung des Erwärmungsprozesses erfordert jedoch eine Art Feedbackschleife sowie eine experimentelle Überprüfung. Die Feedbackschleife sollte idealerweise durch ein numerisches Modell ergänzt werden, das experimentelle Daten einbezieht und den Temperaturverlauf über die Zeit vorhersagen kann. Ein numerisches Modell ist besonders nützlich, da es das Verhalten in Bereichen vorhersagen kann, die in Echtzeit nicht direkt messbar sind.

In der Praxis bergen numerische Modelle jedoch einige Herausforderungen. Sie benötigen gute Eingabedaten, angefangen bei einer genauen Beschreibung der Geometrie des Werkstücks und der Induktionsheizspule sowie Kenntnisse über die Anregungsströme und -frequenzen. Darüber hinaus müssen Sie die Materialeigenschaften kennen und wissen, wie sich diese verändern.

Alle Materialeigenschaften variieren mit der Temperatur, und da bei der induktiven Erwärmung das Werkstück in der Regel bei etwa Raumtemperatur beginnt und auf etwa die Schmelztemperatur erhitzt wird, können diese Nichtlinearitäten niemals vernachlässigt werden. Sowohl die elektrische als auch die thermische Leitfähigkeit von Metallen nehmen in der Regel mit steigender Temperatur ab, das ist jedoch nicht immer der Fall.

Typische Hysteresekurven bei verschiedenen Temperaturen. Oberhalb der Curie-Temperatur entspricht die Steigung der Kurve der magnetischen Permeabilität des freien Raums.

Darüber hinaus gibt es einige Materialien, insbesondere weichmagnetische Materialien, deren magnetische Permeabilität nichtlinear zum Magnetfeld verläuft, deren Hysterese jedoch vernachlässigbar ist. Diese Materialien lassen sich experimentell anhand einer Hysteresekurve charakterisieren, die den Betrag des \mathbf{B}-Feldes mit dem \mathbf{H}-Feld in Beziehung setzt. Diese Kurven zeigen zudem eine temperaturabhängige Veränderung; ihr Betrag nimmt bis zur Curie-Temperatur allmählich ab, bei der das Material nichtmagnetisch wird. Obwohl die Form solcher Kurven in der Regel der oben dargestellten sehr ähnlich ist, kann die Erfassung der tatsächlichen experimentellen Daten schwierig sein und stellt oft die größte Hürde bei der Umsetzung eines numerischen Modells dar.

Umsetzung des Modells: Einige konzeptionelle Vorbemerkungen

Induktive Erwärmungsprozesse erstrecken sich in der Regel über einen Zeitraum von mindestens einigen Sekunden, während die Anregungsfrequenzen von 50 Hz bis zu 450 kHz oder sogar darüber hinaus reichen können. Dies bedeutet, dass das Problem zwei zeitliche Skalen aufweist. Es ist anzunehmen, dass sich die Temperaturfelder im Vergleich zu einer Schwingungsperiode relativ langsam ändern. Mit anderen Worten: Die elektromagnetischen Felder nehmen innerhalb eines Zyklus keine Temperaturänderung wahr. Dies liefert den Anstoß für einen Lösungsansatz, der als Frequenz-transienter Studienansatz bezeichnet wird, bei dem die elektromagnetischen Felder im Frequenzbereich und das thermische Problem im Zeitbereich gelöst werden.

Die elektromagnetischen Felder werden zwar neu berechnet, jedoch nur dann, wenn sich die Materialeigenschaften in Abhängigkeit von einer Temperaturänderung ändern. Die explizite Annahme einer Frequenzbereichsanalyse lautet, dass die Materialeigenschaften über einen Zyklus hinweg konstant sind. In der Praxis variieren die elektromagnetischen Felder jedoch in der Regel nichtlinear über einen Zyklus. In der Regel versuchen wir, das Material so schnell wie möglich zu erwärmen, was bedeutet, dass die Anregungsströme und die daraus resultierenden Felder das Material in den nichtlinearen Bereich der Hysteresekurve treiben.

Um diesen scheinbaren Widerspruch aufzulösen, greifen wir auf das Konzept der effektiven Hysteresekurve zurück, bei dem mithilfe einer energiebasierten Methode eine Kurve berechnet wird, die das nichtlineare Verhalten annähernd wiedergibt. Diese Kurven lassen sich berechnen, indem man von der experimentell ermittelten und tabellarisch festgehaltenen Hysteresekurve ausgeht. Der Workflow beginnt mit der Erfassung der B-H-Daten, die mithilfe des Hysteresekurven-Checkers bereinigt werden, um die geglätteten Daten anschließend im effektiven Hysteresekurven-Rechner zu verwenden.

Nach den oben genannten Konzepten sollten Sie nun über mindestens drei Datensätze zum Werkstückmaterial verfügen:

• Temperatur
• nichtlineare elektrische und thermische Leitfähigkeit
• eine Reihe effektiver Hysteresekurven bei verschiedenen Temperaturen für jedes zu erwärmende Material

Um ein vollständiges thermisches Modell zu erstellen, benötigen Sie außerdem die Dichte und die spezifische Wärme sowie die thermische Emissivität der Oberfläche, da zumindest die Strahlungskühlung berücksichtigt werden muss. Die spezifische Wärme variiert zudem stets mit der Temperatur. Die Dichte wird konstant gehalten – jede Volumenänderung muss durch die zusätzliche Berücksichtigung der thermischen Ausdehnung des festen Materials modelliert werden. Die Oberflächenemissivität wird in diesem Beispiel ebenfalls konstant gehalten, obwohl sie in der Praxis ebenfalls variieren kann.

Die Induktionsspulen bestehen fast immer aus wassergekühlten Kupferrohren und lassen sich daher wesentlich einfacher modellieren, da ihre Temperatur feststeht. Die Wärmeverteilung innerhalb der Spule selbst ist für uns in der Regel nicht von Interesse. Wir müssen lediglich wissen, wie die Ströme in der Spule das Werkstück erwärmen. Dies führt zu einem einfacheren Modellierungsansatz, bei dem die Impedance Boundary Condition verwendet wird, um lediglich die Spulenoberfläche zu modellieren, wodurch die Notwendigkeit entfällt, das Innenvolumen der Spule zu vernetzen. Diese Vereinfachung kann bei Bedarf durch die zusätzliche Modellierung des Spulenvolumens gelockert werden.

Das Werkstück hingegen muss stets als Volumenmodell dargestellt werden, da die Schwankungen der Eigenschaften nicht genau über eine Oberflächenbedingung modelliert werden können. Darüber hinaus variieren die Felder häufig stark in der Richtung senkrecht zur Oberfläche, in tangentialer Richtung hingegen eher graduell. Dies spricht für die Verwendung eines Grenzschicht-Netzes. Bei der Arbeit in 3D kann es sogar sinnvoll sein, die Geometrie durch die Einführung von Schichten an der Oberfläche zu unterteilen.

Ein kurzer Exkurs: Verwendung analytischer Gleichungen für die effektive Hysteresekurve

Obwohl experimentelle Daten die Referenzwerte darstellen, ist es nicht immer einfach, diese Daten mit hoher Genauigkeit zu erfassen, insbesondere über einen weiten Temperaturbereich hinweg. Daher ist es manchmal sinnvoll, einfachere Ausdrücke für die Hysteresekurve zu verwenden, vor allem wenn wir diese nutzen können, um anschließend analytische Ausdrücke für die effektive Hysteresekurve abzuleiten.

Zwei praktische Ausdrücke für den Betrag des \mathbf{B}-Feldes, B = \lVert \mathbf{B} \rVert, als Funktion des Betrags des \mathbf{H} -Felds, H = \lVert \mathbf{H} \rVert, lauten:

Diese weisen dasselbe Grenzverhalten auf: Bei niedrigem Magnetfeld beträgt die Steigung (die differentielle relative Permeabilität) \partial B / \partial H = \mu_{rd} = \mu_0\left( 1+B_{sat}/H_0 \right), und im Hochfeldgrenzfall beträgt die Steigung \mu_0, was dem Wert im freien Raum entspricht. Die Sättigungsmagnetisierung, B_{sat} , ist der Punkt, an dem sich die Steigung dem Grenzwert im freien Raum annähert.

Mithilfe dieser Formel lässt sich auf einfache Weise eine Temperaturabhängigkeit einführen, um das Verhalten bei Annäherung an die Curie-Temperatur zu approximieren, oberhalb derer Materialien als nichtmagnetisch betrachtet werden können. Dazu machen wir die Sättigungsmagnetisierung zu einer Funktion der Temperatur, wobei die Funktion B_{sat}\left(T\right) beliebige Form annehmen kann, solange sie oberhalb der Curie-Temperatur auf Null abfällt. In der Regel nimmt sie monoton ab, sodass wir eine Kurve der in dem folgenden Plot dargestellten Form annehmen könnten, mit einer polynomischen Abnahme bis zur Curie-Temperatur. Eine solche Kurve lässt sich mithilfe der Funktion Piecewise in COMSOL^® definieren. Zur Gewährleistung der numerischen Stabilität kann ein Glättungsterm hinzugefügt werden.

Approximation der Änderung des magnetischen Verhaltens in Abhängigkeit von der Temperatur. Im Bereich um die Curie-Temperatur herum wird eine Glättung vorgenommen.

Mit diesen Ausdrücken können wir nun unter Verwendung der Simple Energy Methode einen analytischen Ausdruck für die effektive Hysteresekurve ableiten, wobei gilt:

Zusammen mit den beiden Ausdrücken von oben erhalten wir:

Beachten Sie, dass wir auch eine Temperaturabhängigkeit in den Term H_0 einführen könnten, wodurch sich sowohl der Betrag als auch die Steigung der Hysteresekurve ändern würden. Es sei betont, dass diese lediglich als praktische Näherungswerte dargestellt werden. Sie könnten diese Herleitung für andere Funktionen und Gleichungen zur Berechnung der effektiven Hysteresekurve wiederholen. In Ermangelung hochwertiger experimenteller Daten können diese einen sinnvollen Ausgangspunkt für Ihre Modellierung darstellen.

Implementierung eines Modells mit dem Interface Magnetic Field Formulation

Wir betrachten hier den Fall eines quadratischen Stahlkanals, der durch eine Spule mit drei Windungen erwärmt wird. Wir gehen davon aus, dass der Spulenabstand keinen wesentlichen Einfluss auf die Lösung hat, und nutzen diese Annahme, um die Symmetrie des Werkstücks und der Spule auszunutzen und so die Modellgröße zu reduzieren.

Eine dreiwindige Induktionsspule, die um einen Abschnitt eines Vierkantprofils aus Stahl gewickelt ist (links), lässt sich auf ein Modell eines Sechzehntels (rechts) des Werkstücks und des umgebenden Freiraums reduzieren.

Der Ansatz, den wir hier verfolgen werden, besteht darin, das Interface Magnetic Field Formulation zu verwenden, das das \mathbf{H}-Feld direkt berechnet. Dadurch eignet es sich etwas besser für die Modellierung von Materialien, bei denen die Nichtlinearität explizit vom \mathbf{H}-Feld selbst abhängt. Wir haben bereits erläutert, wie man Anregungen in diese Formulierung einführt, und werden eine globale Randbedingung verwenden, um den Strom an der Spule festzulegen.

Bei der Eingabe der Materialnichtlinearität können Sie den Rechenaufwand reduzieren, indem Sie auf die symbolische Differentiation nach dem Magnetfeld in der effektiven Hysteresekurve verzichten. Dies geschieht mithilfe des Operators nojac (), und obwohl dies gelegentlich zu einer erhöhten Anzahl von Löseriterationen führen kann, benötigt jede Iteration weniger Zeit und Speicherplatz, was insgesamt zu einer Verbesserung führt. Beachten Sie, dass dies unabhängig davon gilt, ob Sie die oben abgeleiteten analytischen Ausdrücke oder Daten in Tabellenform verwenden.

Der Lösungsansatz nutzt den Löser Frequency-Transient, der bei 3D-Modellen standardmäßig einen segregierten Ansatz verwendet. Das \mathbf{H} -Feld wird mit einem direkten Löser gelöst, und dies ist eine hervorragende Gelegenheit, den neuen NVIDIA CUDA^® Direct Sparse Solver (NVIDIA CuDSS) auszuprobieren, wenn Sie über eine geeignete Grafikkarte verfügen.

Die Ergebnisse sind im Folgenden animiert dargestellt und veranschaulichen die Auswirkungen des Temperaturanstiegs. Die effektive relative Permeabilität ändert sich mit zunehmender Erwärmung des Bauteils und sinkt schließlich auf den Wert 1, sobald die Curie-Temperatur überschritten wird.

Animation der effektiven relativen Permeabilität, die von der Feldstärke und der Temperatur beeinflusst wird, im Zeitverlauf.

Was das Vernetzen betrifft, können Sie die maximale Betriebsfrequenz zusammen mit der Leitfähigkeit und der maximalen effektiven Permeabilität verwenden, um die minimale Eindringtiefe zu berechnen. Darüber hinaus können Sie verschiedene Elementordnungen untersuchen, wobei bei stark nichtlinearen Materialien in der Regel die lineare Ordnung bevorzugt wird.

Der Rechenaufwand für ein dreidimensionales Modell kann natürlich beträchtlich sein, weshalb eine Reduzierung des Modells durch Ausnutzung von Symmetrien stets zu empfehlen ist. Um noch einen Schritt weiter zu gehen, können Sie das Modell oft auf zwei Dimensionen reduzieren. Solche Modelle sind besonders nützlich, da sie Ihnen dabei helfen können, eine effiziente Strategie zum Vernetzen Ihrer dreidimensionalen Modelle zu finden.

Zweidimensionale Modelle können oft bei deutlich geringerem Rechenaufwand plausible Annäherungen an ein dreidimensionales Modell liefern. Die 2D-Ergebnisse werden auf die entsprechenden 3D-Flächen abgebildet.

Vergleich der Ergebnisse des zweidimensionalen und des dreidimensionalen Modells.

Die Bedeutung der Erstellung von 2D-Modellen kann gar nicht hoch genug eingeschätzt werden, da diese oft eine sehr gute Annäherung an die 3D-Lösung liefern und es wesentlich einfacher ist, Strategien für das Vernetzen, den Löser und die Diskretisierung zu überprüfen. Wenn Sie diese Art von Modellen erweitern, werden Sie wahrscheinlich auch weitere physikalische Aspekte einbeziehen wollen, wie beispielsweise die Berechnung mechanischer Eigenschaften: Induktionshärten eines zylindrischen Stifts.

Abschließende Bemerkungen

Wir haben hier gezeigt, dass es einfach ist, die \mathbf{H}-Feldformulierung zu verwenden, um die induktive Erwärmung von Materialien, die sowohl gegenüber dem Magnetfeld als auch gegenüber der Temperatur nichtlinear verhalten, zu modellieren und zu lösen. Diese Formulierung ist oft stabiler und konvergiert somit schneller als andere Ansätze, insbesondere bei starken Nichtlinearitäten.

Möchten Sie selbst etwas aus diesem Bereich simulieren? Laden Sie das Tutorial-Modell über den unten stehenden Link herunter.