Mit der Weiterentwicklung der Technologie integrierter Schaltungen (IC) und der zunehmenden Leistungsfähigkeit und Kompaktheit von Schaltkreisen wird es immer wichtiger, potenzielle Ursachen für Schaltkreisausfälle zu identifizieren und zu verhindern. Ein besonders kritischer Faktor, der zu Schaltkreisausfällen beiträgt, ist die Elektromigration in metallischen Verbindungen, die durch die Ansammlung von Leerstellen entsteht. In diesem Blog-Beitrag werden die grundlegenden Gleichungen zur Beschreibung der Elektromigration erläutert und es wird gezeigt, wie dieses Phänomen mit der Software COMSOL Multiphysics® modelliert werden kann.
Elektromigrationseffekte
Geräte, die wir täglich verwenden, wie Computer oder Smartphones, sind auf ICs angewiesen. Diese Geräte enthalten CPUs, GPUs oder RAM-Chips, die Millionen bis Milliarden von Halbleiterkomponenten enthalten können, um bei der Datenverarbeitung verschiedene Berechnungen durchzuführen. Diese Berechnungen können nur durchgeführt werden, wenn Signale zuverlässig zwischen den Halbleiterkomponenten übertragen werden. Das ist die Aufgabe von Verbindungen – leitfähigen Bahnen, über die Strom zwischen den Komponenten fließen kann.
Im Laufe der Zeit kann eine Verbindung aufgrund der intensiven Nutzung der IC beschädigt werden und aufgrund von Elektromigration sogar vollständig ausfallen. Obwohl Elektromigration in Metallen jeder Größe auftreten kann, ist sie eher bei kleinen Bauteilen ein Problem, die Feinstrukturen im Nanometerbereich aufweisen. Zum Vergleich: Ein kubischer Nanometer Kupfer, ein häufig für Verbindungen verwendetes Material, enthält mehrere Dutzend Atome.
Elektromigration tritt auf, wenn sich Leerstellen innerhalb eines Kristallgitters bewegen und ansammeln, um makroskopische Hohlräume (Bereiche ohne Atome) oder Hillocks (Bereiche, in denen sich Atome ansammeln) zu bilden. Dies kann zu einem Anstieg des elektrischen Widerstands, Überhitzung, Materialverschleiß und einer allgemeinen Schwächung der Struktur führen. Makroskopisches Hohlraumwachstum und Hillockbildung können aufgrund von einem elektrischen Kurzschluss oder einem offenen Stromkreis zum Ausfall der Verbindung führen.
Abbildung einer durch Elektromigration verursachten Fehlerstelle, gemeinfrei, über Wikimedia Commons.
Eine Leerstelle ist eine Stelle innerhalb einer Kristallstruktur, an der ein Atom fehlt. In einem perfekten Kristallgitter gäbe es keine Leerstellen, aber in der Realität enthält jeder Kristall eine gewisse Anzahl von Leerstellen. Leerstellen können sich während der Erstarrung eines Metalls (oder einer Legierung) bilden oder spontan durch zufällige Atomschwingungen entstehen. Zufällige Atombewegungen treten bei jeder Temperatur über dem absoluten Nullpunkt auf, und bei einer bestimmten Temperatur weist jedes Gitter eine gewisse Gleichgewichtskonzentration an Leerstellen auf, die über das gesamte Gitter verteilt sind.
Obwohl wir von der Migration oder Bewegung der Leerstellen sprechen, bewegen sich physikalisch gesehen nicht die Leerstellen selbst, sondern die Atome, indem sie in benachbarte Leerstellen springen, was als „substitutionelle Diffusion“ bezeichnet wird. Die Leerstellen scheinen sich in die der Atome entgegengesetzte Richtung zu bewegen. Im Nanobereich finden auch ohne Einwirkung äußerer Felder zahlreiche Leerstellensprünge im gesamten Material statt. Im Makrobereich gibt es keine Gesamtbewegung der Leerstellen, da die Bewegung im Nanobereich im Gleichgewicht isotrop ist. Bei Einwirkung äußerer Kräfte kommt es jedoch zu einer Bewegung der Atome und damit zu einer Bewegung der Leerstellen in eine bestimmte Richtung.
Welche Aspekte tragen zum Leerstellenfluss bei?
Einer der Hauptfaktoren für die Bewegung von Leerstellen in einer Verbindung, ist der durch sie fließende elektrische Strom. Wenn eine Potentialdifferenz an die Verbindung angelegt wird, wirken auf die Elektronen Kräfte in Richtung des elektrischen Feldes, was zu einer Nettobewegung der Elektronen führt. Während die Elektronen durch den Leiter fließen, kollidieren einige von ihnen und übertragen Energie und Impuls auf die Atome. Durch diese Impulsübertragung erhalten einige der Atome genügend Energie, um auf eine benachbarte Leerstelle zu springen. Der durch diesen Effekt erzeugte Fluss von Leerstellen ergibt sich aus:
1
wobei c_v die Leerstellenkonzentration, D_v die Diffusivität der Leerstellen, z^* die effektive Ladungszahl, e die Elementarladung, \vec{E} das elektrische Feld, k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur ist.
Da die strukturellen Eigenschaften und die elektrische Leitfähigkeit in der Regel temperaturabhängig sind, muss die Temperaturverteilung in der Verbindung genau berechnet werden.
Bei der Beschreibung des Leerstellenflusses aufgrund eines elektrischen Feldes wurde erwähnt, dass die Elektronen durch den Leiter fließen und durch Kollisionen mit Atomen Energie verlieren. Daher ist es auch wichtig, die Joulesche Erwärmung als Folge dieses Energietransfers zu berücksichtigen. Da die Verbindungen sehr klein sind, kann die Stromdichte hoch sein, und die Joulesche Erwärmung ist in diesem Fall nicht zu vernachlässigen.
Der thermische Gradient, der durch Joulesche Erwärmung und Wärmetransport entsteht, beeinflusst ebenfalls die Bewegung von Atomen und Leerstellen. Der zusätzliche Leerstellenfluss, der sich aus dem Temperaturgradienten ergibt, lautet:
2
wobeiQ* die Transportwärme ist.
Ein weiterer Beitrag zur Leerstellenbewegung ist auf die Diffusion von Leerstellen von hohen zu niedrigen Konzentrationen zurückzuführen. Dieser Fluss ist proportional zum Gradienten der Leerstellenkonzentration:
3
Beachten Sie, dass der Diffusionskoeffizient von der Temperatur oder der Spannung innerhalb des Materials abhängen kann. Darüber hinaus hat die Gittermikrostruktur einen großen Einfluss auf den Diffusionskoeffizienten. Atome (und Leerstellen) stoßen an Korngrenzen auf deutlich weniger Bewegungswiderstand. Wenn die Verbindung daher so hergestellt ist, dass sie viele kleine Körner enthält, gibt es mehr Korngrenzen, die als Diffusionswege dienen, und der effektive Gesamtdiffusionskoeffizient ist höher. Die Ausrichtung der Körner relativ zum Stromfluss beeinflusst ebenfalls die Diffusionsfähigkeit erheblich.
Aufgrund der thermischen Expansion und der Ansammlung von Leerstellen kann sich das Material verformen und Schäden entstehen, die zu Verbindungsfehlern führen können. Daher muss die Spannungsverteilung innerhalb des Materials aufgelöst werden.
Atome neigen dazu, aus Bereichen mit hoher Spannung in Bereiche mit niedriger Spannung zu wandern; daher wandern Leerstellen in die entgegengesetzte Richtung. Dieser Fluss wirkt im Allgemeinen dem durch das elektrische Feld verursachten Fluss entgegen und wird wie folgt angegeben:
4
wobeif ein materialspezifischer Leerstellenrelaxationsfaktor, \Omega das Atomvolumen und \sigma die hydrostatische Spannung ist.
Nachdem nun alle Beiträge zur Leerstellenbewegung vorgestellt wurden, ergibt sich der Gesamt-Leerstellenfluss aus der Summe:
5
Anschließend wird eine Standard-Transportgleichung unter Berücksichtigung des Gesamtflusses gelöst.
6
wobei G ein Quellen-/Senkenterm aufgrund der Erzeugung oder Vernichtung von Leerstellen innerhalb des Gebiets ist.
Ein weiterer zu berücksichtigender Effekt ist die Schrumpfung des Gitters in Bereichen, in denen sich Leerstellen ansammeln, und die Quellung in Bereichen, in denen die Leerstellenkonzentration abnimmt. Dieses Verhalten wird durch die volumetrische Dehnungsrate aufgrund der Divergenz des Leerstellenflusses und der Leerstellenerzeugung beschrieben:
7
Modellierung der Elektromigration
Zur Modellierung der Elektromigration können wir COMSOL Multiphysics® verwenden, um mehrere verschiedene physikalische Phänomene gleichzeitig zu lösen, darunter elektrische Ströme, Festkörpermechanik, Wärmetransport und natürlich den Transport der Leerstellen.
Betrachten wir zunächst einmal, wie eine Verbindung aussehen kann. Die Abbildung unten zeigt ein Beispiel für die Geometrie einer einzelnen Verbindung. Als leitfähiges Material können beispielsweise Aluminium oder Kupfer verwendet werden. Je nach spezifischem Design und den gewählten Materialien kann das primäre Verbindungsmaterial auch von einer Auskleidung oder Barriere umgeben sein. Diese Schichten werden aus verschiedenen Gründen hinzugefügt, beispielsweise um die Diffusion von Atomen in das umgebende Dielektrikum zu verhindern oder um die Haftung zwischen der Verbindung und einem dielektrischen Material zu verbessern.
Eine typische Verbindungsgeometrie.
Das Interface Electric Currents kann verwendet werden, um das elektrische Potential im gesamten Gebiet auf der Grundlage der definierten Randbedingungen und Materialeigenschaften zu berechnen. Unabhängig von den geometrischen Details gibt es einen Rand, der als Masse (V=0) fungiert, und einen weiteren Rand, an dem ein bekanntes Potential, ein bekannter Strom, eine bekannte Stromdichte oder eine bekannte Leistung angegeben ist.
Die Interfaces Solid Mechanics und Heat Transfer in Solids werden verwendet, um die strukturelle und thermische Reaktion der Verbindung zu berücksichtigen. Das Material wird als linear elastisch angenommen, und in diesem Beispiel werden Material-Nichtlinearitäten nicht berücksichtigt.
Um geeignete Randbedingungen im Interface Heat Transfer in Solids zu definieren, muss die thermische Umgebung berücksichtigt werden. Beispielsweise kann der gesamte Chip durch erzwungene oder natürliche Konvektion gekühlt werden. In diesem Modell wird an den Außenrändern des Liners eine konvektive Wärmeflussbedingung angewendet, während die Enden der Verbindung eine feste Temperatur aufweisen.
Wie bereits erläutert, ist die primäre Wärmequelle innerhalb der Verbindung auf den Joule-Effekt zurückzuführen, der mit der Multiphysik-Kopplung Electromagnetic Heating leicht einbezogen werden kann. Zusätzlich wird die thermische Expansion mit der Multiphysik-Kopplung Thermal Expansion berücksichtigt.
Es stehen zahlreiche Tutorials zur Modellierung von Joulescher Erwärmung und thermischer Expansion mit COMSOL® zur Verfügung. Die Reihe Getting Started with Electro-Thermal Mechanical Modeling führt beispielsweise in den Arbeitsablauf zum Einrichten dieser Probleme ein.
Über das Interface Transport in Solids können die maßgeblichen Gleichungen zur Modellierung des Leerstellentransports eingerichtet werden. Dieses Interface löst eine Transportgleichung für die Konzentration der gewünschten Variablen, in diesem Fall die Leerstellenkonzentration.
In der Standardeinstellung berücksichtigt die Transportgleichung den Diffusionsfluss aufgrund von Konzentrationsgradienten. Um jedoch den Gesamtfluss aufgrund von Elektromigration zu modellieren, können zusätzliche Flussbeiträge hinzugefügt werden. Das Interface Transport in Solids erleichtert die Einbindung dieser zusätzlichen Beiträge in unsere maßgeblichen Gleichungen mithilfe des Features External Flux, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.
Das Feature External Flux kann beliebige zusätzliche Flüsse in die Transportgleichung einbeziehen.
Wir können erkennen, dass die Flussbeiträge aus dem elektrischen Feld, der Spannung und den Temperaturgradienten zu diesem Modell hinzugefügt wurden. Die entsprechenden Flussvariablen sind im Abschnitt Variables mit den oben aufgeführten Ausdrücken definiert.
Variablen, die die Dehnungsrate, den Temperaturfluss und die Terme für Leerstellenquellen/-senken umfassen.
Um die Volumenausdehnung aufgrund von Leerstellenakkumulation zu berücksichtigen, können wir dem Knoten Linear Elastic Material einen Unterknoten External Strain hinzufügen. Mit diesem Feature können Sie beliebige Beiträge unelastischer Dehnungen festlegen. Typische Beispiele für unelastische Dehnungen, die ebenfalls berücksichtigt werden können, sind thermische Expansion und Kriechen.
Ergebnisse
Es ist üblich, Elektromigrationsmodelle mit einer transienten Analyse zu lösen, da wir in der Regel daran interessiert sind, wie lange es dauert, bis ein bestimmter kritischer Zustand erreicht ist. Bei der Lösung einer transienten Studie erreicht die Lösung natürlich irgendwann einen stationären Zustand, und die dafür benötigte Zeit kann ebenfalls von Interesse sein. Wir werden uns einige wichtige Ergebnisse einer transienten Studie ansehen, die bis zum Erreichen eines stationären Zustands durchgeführt wurde.
Ein wichtiges Ergebnis ist die Konzentration der Leerstellen innerhalb der Verbindung, da dies die Hauptvariable ist, die wir in der Transportgleichung lösen. Die anfängliche Konzentration der Leerstellen wird über den gesamten Bereich auf einen konstanten Gleichgewichtswert gesetzt. Bei der Elektromigration nimmt die Konzentration der Leerstellen in der Nähe der Anode ab, während sie an der Kathode (wo Strom angelegt wird) zunimmt. Dies geschieht, bis ein stationärer Zustand erreicht ist. Der durch das elektrische Feld verursachte Fluss zeigt im Allgemeinen in die entgegengesetzte Richtung des durch hydrostatische Spannung verursachten Flusses. Die Leerstellen bewegen sich von der Anode zur Kathode, bis andere Flussbeiträge (der hydrostatische Fluss und der Diffusionsfluss) den durch das elektrische Feld verursachten Fluss ausgleichen.
Der folgende Plot zeigt die normalisierte Leerstellenkonzentration, sobald die transiente Lösung einen stationären Zustand erreicht hat. Beachten Sie, dass die normalisierte Konzentration durch die Leerstellenkonzentration geteilt durch die Anfangskonzentration definiert ist (d. h. bei t = 0 s ist die normalisierte Konzentration gleich eins).
Der Plot zeigt die normalisierte Leerstellenkonzentration bei t=4,5e6 s. Die Stromlinien folgen dem elektrischen Feld und stellen das elektrische Potential farblich dar.
Darüber hinaus kann es hilfreich sein, zu untersuchen, wie sich die Leerstellenkonzentration im Lauf der Zeit an der Anode und Kathode verändert. Aus dem folgenden Plot lässt sich erkennen, dass der Fluss der Leerstellen an einem bestimmten Punkt eine stationäre Konzentration erreicht. Interessant ist möglicherweise auch die Zeit bis zum Überschreiten einer kritischen Leerstellenkonzentration.
Die normalisierte Leerstellenkonzentration an der Anode und Kathode im Lauf der Zeit.
In ähnlicher Weise kann die hydrostatische Spannung, die zum Leerstellenfluss beiträgt, an den Anoden- und Kathodenrändern in Abhängigkeit von der Zeit ermittelt werden.
Die hydrostatische Spannung an der Anode und Kathode im Lauf der Zeit.
Von-Mises-Spannung (MPa) innerhalb der Aluminiumverbindung bei t = 4,5e6 s.
Die Von-Mises-Spannung kann ein Indikator dafür sein, wann eine makroskopische Hohlraumbildung entsteht. Beachten Sie jedoch, dass Spannungen an scharfen Ecken singulär sein können und Sie möglicherweise Verrundungen einfügen sollten, um dieses Phänomen zu vermeiden. Weitere Informationen zu Singularitäten in der Strukturmechanik finden Sie in unserem Blog-Beitrag Singularitäten in Finite-Elemente-Modellen: Der Umgang mit den roten Flecken.
Transport in Festkörpern
Bei der Modellierung der Elektromigration muss die strukturelle Antwort, insbesondere die Spannung und Dehnung innerhalb des Gebiets, berücksichtigt werden. Wie bereits erläutert, kommt es aufgrund des Spannungsgradienten zu einem Leerstellenfluss. Darüber hinaus möchten wir beispielsweise sicherstellen, dass die Spannung an keiner Stelle des Gebiets die Fließspannung überschreitet. Wenn Verformungen und Drehungen relativ gering sind, können wir von einer geometrisch linearen Analyse ausgehen.
Erweiterte Modellierung
Bis hierher haben wir die Theorie und den Aufbau von COMSOL Multiphysics® für die grundlegende Leerstellentransportgleichung behandelt. Wir haben auch relevante physikalische Aspekte wie Wärmetransport, elektrische Ströme und Festkörpermechanik angesprochen, da diese bei der Modellierung der Elektromigration berücksichtigt werden müssen. Das bisher diskutierte Modell eignet sich zur Beschreibung der Anfangsphase der Elektromigration vor dem Auftreten von Fehlern.
Unser Modell kann zur Vorhersage des Beginns der Hohlraumbildung verwendet werden. Obwohl keine allgemeingültige Übereinstimmung über die genauen Bedingungen für die Hohlraumbildung besteht, wird vermutet, dass sich Hohlräume bilden können, sobald eine kritische Leerstellenkonzentration oder ein kritischer Spannungsgrad erreicht ist. Einige Forscher vermuten außerdem, dass Hohlräume an Korngrenzen oder bereits vorhandenen freien Oberflächen entstehen können, wo die für die Hohlraumbildung erforderliche Spannung geringer ist.
Die Überwachung dieser Kriterien kann dabei helfen, vorherzusagen, wo und wann sich Hohlräume innerhalb des Gebiets oder an einem Rand bilden. Sobald eine Keimbildung stattfindet, kann es interessant sein, die Bewegung und das Wachstum der Hohlräume zu verfolgen. Dies ist zwar anspruchsvoller, kann jedoch ebenfalls mit COMSOL Multiphysics® bewältigt werden. Sie können solche Simulationen mithilfe von Interface-Tracking-Methoden wie der Level-Set- oder der Phasenfeldmethode einrichten. Einige Beispiele für die Anwendung dieser Methoden finden Sie unter den folgenden Links:
- Chemisches Ätzen
- Kupferabscheidung in einem Trench
- Kupferabscheidung in einem Trench mit der Level-Set-Methode
Fazit
Dieser Blog-Beitrag verdeutlicht die Bedeutung einer genauen Modellierung des Leerstellentransports für die Vorhersage von Verbindungsfehlern. Durch die Nutzung der Multiphysik-Simulationsfunktionen von COMSOL Multiphysics® können wir Einblicke in Elektromigrationsphänomene gewinnen und das Auftreten von Hohlraumbildung effektiver vorhersagen sowie deren Auswirkungen auf die Geräteleistung bewerten.
Nächste Schritte
Probieren Sie ein ähnliches Modell wie das in diesem Blog-Beitrag beschriebene aus, indem Sie auf die Schaltfläche unten klicken, die Sie zur Application Gallery führt:
Referenzen
- Orio, R. L. de, et al. “Physically Based Models of Electromigration: From Black’s Equation to Modern TCAD Models.” Microelectronics Reliability, vol. 50, no. 6, Elsevier BV, June 2010, pp. 775—89.
Kommentare (0)