Das Interface Magnetic Field Formulation im AC/DC Module, einem Add-On der Software COMSOL Multiphysics®, eignet sich zur Modellierung von Materialien mit nichtlinearen konstitutiven Beziehungen. Solche Materialien müssen in der Regel explizit als Gebiete dargestellt werden, doch manchmal möchten wir auch sehr dünne Leiter untersuchen. In solchen Fällen kann es vorteilhaft sein, den Leiter als Randbedingung zu modellieren. Das vorhandene Interface zu diesem Zweck um zusätzliche Gleichungen zu erweitern ist einfach. Legen wir los!
Was ist ein dünner Leiter?
Der Begriff dünner Leiter erfordert im vorliegenden Zusammenhang eine genaue Definition. Wir beginnen mit der Dicke des Materials: Diese muss im Vergleich zu den anderen Abmessungen gering sein. Eine Leiterbahn auf einer Leiterplatte oder ein leitfähiges Klebeband sind typische Beispiele hierfür. Das Material muss zudem so dünn sein, dass die tangentiale Stromdichte über die gesamte Dicke hinweg als gleichmäßig angenommen werden kann. Diese Näherung ist angemessen, wenn die Dicke deutlich kleiner ist als sowohl der Krümmungsradius als auch die Eindringtiefe. Letztere lässt sich aus dem spezifischen Widerstand des Materials und der charakteristischen Betriebsfrequenz abschätzen. Wir nehmen ferner an, dass Leitungsströme gegenüber Verschiebungsströmen dominieren, und vernachlässigen daher die Beiträge der Verschiebungsströme. Schließlich gehen wir davon aus, dass die magnetische Antwort des Leiters vernachlässigbar ist, sodass kein magnetisches Materialmodell erforderlich ist.
Ein dünner Leiter kann als Flächenstrom modelliert werden.
Nachdem der Begriff dünner Leiter nun definiert ist, können wir uns der Frage zuwenden, wie ein solcher Leiter modelliert werden kann. Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen können wir die Formulierung für das Magnetfeld ableiten, bei der das Faradaysche Gesetz innerhalb von Gebieten mithilfe der Finite-Elemente-Methode gelöst wird:
wobei das elektrische Feld wie folgt berechnet wird:
und wobei der spezifische Materialwiderstand, \rho, der Kehrwert der Leitfähigkeit ist und nichtlinear vom Magnetfeld, vom Strom oder von beiden abhängen kann. Zur Lösung dieser Gleichungen ist zudem eine Reihe von Randbedingungen und Anregungen erforderlich, von denen einige in unserem Blog-Beitrag Modellierung von Anregungen mit dem Interface Magnetic Field Formulation behandelt werden.
Darüber hinaus ist die tangentiale Komponente des Magnetfeldes bei Abwesenheit eines Oberflächenstroms über einen inneren Rand hinweg stetig:
wobei sich die Indizes auf die Ober- und Unterseite des inneren Rands beziehen. Diese Bedingung wird innerhalb des Interfaces Magnetic Field Formulation implizit erfüllt, da das tangentiale Magnetfeld mithilfe von curl-konformen Vektorelementen dargestellt wird, die die tangentiale Kontinuität über innere Ränder hinweg gewährleisten. Das heißt, standardmäßig weist das Interface eine einzige Unbekannte am Rand auf und erzwingt somit
Fließt jedoch ein Strom entlang einer Fläche, der nicht null ist, so gilt:
Diese Bedingung ist im bestehenden Interface Magnetic Field Formulation nicht verfügbar, lässt sich jedoch, wie wir gleich sehen werden, sehr einfach hinzufügen. Neben dem entlang der Oberfläche fließenden Strom benötigen wir außerdem die über die Dicke gemittelte Stromdichte im Leiter sowie das zur Oberfläche tangentiale elektrische Feld:
wobei Th die geometrische Dicke ist. Unser Ziel ist somit ein doppeltes: Wir wollen die Möglichkeit einer Differenz des Magnetfelds über einen inneren Rand hinweg aufgrund eines Flächenstroms und eine konstitutive Beziehung für den Leiter, der diesen Strom führt, in das bestehende Interface Magnetic Field Formulation einführen.
An dieser Stelle möchten wir eine intuitive Erklärung geben, die gewisse Vorkenntnisse über die Finite-Elemente-Methode voraussetzt. Da wir bereits Ausdrücke für den tangentialen Strom und das tangentiale elektrische Feld haben, können wir die an der Oberfläche abgegebene elektrische Leistung wie folgt beschreiben:
In der schwachen Formulierung erhält man den entsprechenden Beitrag der virtuellen Leistung, indem man den Oberflächenstrom durch dessen Testvariation ersetzt:
Da sich der Oberflächenstrom direkt aus dem Sprung im Magnetfeld ergibt, wird seine Variation ebenfalls durch die Magnetfeld-Testfunktionen bestimmt. Dieser Beitrag wird daher der Variationsform hinzugefügt, die mittels der Finite-Elemente-Methode gelöst wird. Für Leser, die sich für die Einzelheiten interessieren, sind am Ende dieses Artikels mehrere Literaturhinweise aufgeführt. Es sei zudem darauf hingewiesen, dass KI-Tools häufig konkrete Schritt-für-Schritt-Herleitungen dieser Art von Gleichungen liefern können.
Implementierung in COMSOL®
Die erste Voraussetzung für die Implementierung eines dünnen Leiters besteht darin, unterschiedliche Magnetfelder auf den beiden Seiten eines inneren Rands mit der Dicke null zuzulassen. Diese Konfiguration wird durch Hinzufügen des Features Auxiliary Slit zu den gewünschten Rändern erreicht. Das Feature trennt die tangentialen Magnetfeld-Freiheitsgrade auf den beiden Seiten des Rands voneinander, sodass sich die Felder unterscheiden können. Daher müssen wir eine Gleichung hinzufügen, die diese Freiheitsgrade miteinander in Beziehung setzt. Auf die Felder auf den beiden Seiten kann mithilfe der Operatoren up() und down() zugegriffen werden.
Hinzufügen des Features Auxiliary Slit zu beliebigen inneren Rändern einer Grenzfläche.
Sobald dieser Spalt eingeführt ist, können wir mithilfe der im obigen Abschnitt hergeleiteten Gleichungen eine Reihe von Variablen definieren. Der folgende Screenshot zeigt ein Beispiel für eine solche Definition. Beachten Sie, dass der Normalenvektor über <nxmesh,nymesh,nzmesh> definiert ist, wobei es sich um die Normale handelt, wie sie auf dem diskreten Finite-Elemente-Netz berechnet wird – so lautet beispielsweise die z-Komponente des Oberflächenstroms:
nxmesh*(up(Hy)-down(Hy))-nymesh*(up(Hx)-down(Hx))
An den Rändern können Variablen definiert werden.
Abschließend müssen wir das Feature Weak Contribution hinzufügen, um die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und dem Oberflächenstrom zu berücksichtigen. Der folgende Beitrag wird zum Residuum hinzugefügt:
Es_x*test(K_x)+Es_y*test(K_y)+Es_z*test(K_z)
Bitte beachten Sie, dass das elektrische Feld über eine Variable, die den spezifischen Widerstand definiert, nichtlinear vom Oberflächenstrom abhängen kann. Eine ausführliche Einführung in die Modellierung in schwacher Form finden Sie in dieser Reihe des Learning Centers: Modeling with Partial Differential Equations in COMSOL Multiphysics®.
Das Feature Weak Contribution bildet die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und dem Oberflächenstrom ab.
Mit den hinzugefügten Features Auxiliary Slit und Weak Contribution sowie der Definition der entsprechenden Variablen ist die Implementierung abgeschlossen. Die ausgewählten Ränder können nun Oberflächenströme leiten, die auch in benachbarte leitfähige Gebiete eintreten oder diese verlassen können. Der Oberflächenstrom kann mithilfe eines beliebigen der Standardansätze zur Arbeit mit der Magnetfeldformulierung angeregt werden, die in dem zuvor erwähnten Blog-Beitrag über Magnetfeldanregungen erläutert wurden.
Ein Beispiel aus dem Bereich der Supraleitung
Als Beispiel betrachten wir eine Anwendung aus dem Bereich der Supraleitung, zwei dünne supraleitende Bänder im freien Raum, die durch einen relativ großen metallischen Leiter verbunden sind, wie unten dargestellt. Das supraleitende Material selbst besteht aus einer sehr dünnen Schicht, die auf einem relativ isolierenden Substrat aufgebracht ist. In diesem Beispiel gehen wir davon aus, dass Ströme im Substrat vernachlässigbar sind, und lassen das Substrat daher vollständig außer Acht. Strom kann dann von einem supraleitenden Band über die metallische Brücke in das andere Band fließen.
Die Beispielsituation: Zwei dünne supraleitende Bänder, die durch eine metallische Brücke miteinander verbunden sind, werden in einem zylindrischen freien Raum modelliert:
Bei einem Supraleiter besteht ein stark nichtlineares Verhältnis zwischen elektrischem Feld und Stromdichte. Eine häufig verwendete konstitutive Beziehung ist der Potenzgesetz-Ausdruck für den spezifischen Widerstand:
wobei E_c das Kriterium für das kritische elektrische Feld, J_c die kritische Stromdichte und n der Exponent des Potenzgesetzes ist. Im Allgemeinen kann J_c vom Betrag und der Ausrichtung des Magnetfelds sowie von anderen Größen wie der Temperatur abhängen; hier verwenden wir die oben dargestellte vereinfachte Form.
Eine numerische Anforderung dieses Materialmodells nach dem Potenzgesetz im Rahmen der Magnetfeldformulierung besteht darin, dass der spezifische Widerstand niemals exakt null sein darf; daher führen wir in den obigen Ausdruck eine Konstante J_{\min} \ll J_c ein. Diese Konstante wird so gewählt, dass sie ausreichend klein ist, sodass ihr Einfluss auf die Lösung vernachlässigbar ist.
Ebenso kann der spezifische Widerstand der umgebenden isolierenden Gebiete nicht unendlich groß sein. Als praktischen Ausgangspunkt wählen wir den Stabilisierungswiderstand so, dass die Eindringtiefe in diesen Gebieten etwa das Tausendfache der charakteristischen Modelllänge L_c beträgt, woraus sich Folgendes ergibt:
Dies sorgt für ein sinnvolles Gleichgewicht zwischen numerischer Konditionierung und künstlicher Dissipation. Dennoch sollten die daraus resultierenden künstlichen Verluste nach der Lösung überprüft werden. Aufgrund des großen Kontrasts im spezifischen Widerstand und der stark nichtlinearen konstitutiven Beziehung eignet sich das Problem gut für einen direkten Löser. Mit einer kompatiblen GPU kann die Lösung zudem von einer GPU-Beschleunigung profitieren.
Die Anregung erfolgt über das Feature Tangential Magnetic Field. Das vorgegebene Feld entspricht einem gleichmäßigen Rückstrom entlang der Außenseite des zylindrischen Modellierungsgebiets. Das Modell wird im Zeitbereich gelöst, wobei eine sinusförmige Stromanregung mit ansteigender Flanke verwendet wird, sodass die lokale Stromdichte in einigen Bereichen des Bandes periodisch die kritische Stromdichte überschreitet. Die Verluste innerhalb der dünnen Schicht, des metallischen Gebiets und des freien Raumes werden integriert und verglichen.
Die nachstehenden Ergebnisse zeigen, wie Strom entlang eines supraleitenden Bandes, durch den metallischen Leiter und in das andere Band fließt. Der zweite Plot zeigt die Verluste im Zeitverlauf und veranschaulicht den Einfluss der nichtlinearen konstitutiven Beziehung. Er zeigt zudem, dass die mit dem Stabilisierungswiderstand verbundenen künstlichen Verluste im Vergleich zu den Leitungsverlusten gering sind. Es ist ebenfalls sinnvoll, den Stabilisierungswiderstand zu variieren und zu bestätigen, dass die Verluste in den physikalischen Leitern im Wesentlichen unverändert bleiben. Das Beispiel veranschaulicht zudem einen wichtigen Aspekt der Formulierung: Oberflächenstrom kann auf natürliche Weise in benachbarte Volumenleiter eintreten oder diese verlassen.
Stromfluss (blaue Pfeile) entlang der dünnen leitfähigen Oberflächen und durch den angrenzenden Volumenleiter.
Verluste in den dünnen leitfähigen Oberflächen, der metallischen Brücke und dem umgebenden freien Raum als Funktion der Zeit.
Abschließende Bemerkungen
Wir haben aufgezeigt, wie die Funktionen eines bestehenden Physik-Interfaces von COMSOL Multiphysics® durch die Einführung von Sprungbedingungen und zusätzlichen Gleichungen an inneren Rändern erweitert werden können. Obwohl das hier vorgestellte Beispiel aus dem Bereich der Modellierung elektromagnetischer Felder stammt, kann dieser Workflow auch in anderen Bereichen der Physik nützlich sein.
Es ist erwähnenswert, dass KI-Tools bei dieser Art der Modellentwicklung eine große Hilfe sein können. Die Trainingsdaten für die meisten großen Sprachmodelle (LLMs) umfassen die COMSOL-Dokumentation sowie zahlreiche technische Referenzen, sodass die Aufbereitung dieser Daten zu einem konkreten Vorschlag für ein neues Feature oder eine neue Formulierung in nur wenigen Minuten erfolgen kann.
Die hier entwickelte Formulierung ermöglicht es, dünne Leiter als Ränder innerhalb des Interfaces Magnetic Field Formulation zu modellieren und eignet sich besonders gut für Supraleiter mit stark nichtlinearem spezifischem Widerstand. Dieser Ansatz lässt sich auch auf andere Problemklassen anwenden. Sollten Sie daran interessiert sein, mehr darüber zu erfahren, wenden Sie sich gerne an uns! Das Modell steht Ihnen über die untenstehende Schaltfläche zur Verfügung:
Referenzen
- J.-M. Jin, Theory and Computation of Electromagnetic Fields, 2nd ed., Wiley-IEEE Press, 2015.
- C. Johnson, Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method, Dover, 2009.
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