Der Elektronentransport in Niedertemperaturplasmen hängt stark von der Elektronenenergieverteilungsfunktion (EEDF) ab, die häufig als Maxwellsche Verteilung approximiert wird, in der Realität jedoch häufig nicht im Gleichgewicht ist. Die Einbeziehung des Nichtgleichgewichtsverhaltens der EEDF in räumlich abhängige Modelle erfordert häufig vorab berechnete mehrdimensionale Nachschlagetabellen oder die selbstkonsistente Lösung der Boltzmann-Gleichung während der Simulation. Dieser Blog-Beitrag stellt eine effizientere Alternative vor: ein Deep-Neural-Network-Ersatzmodell, das auf Lösungen der Boltzmann-Gleichung trainiert wurde. Dies ermöglicht die genaue Integration kinetischer Effekte in Plasmasimulationen bei gleichzeitig deutlich reduzierten Rechenkosten.
Methoden zur Einbettung kinetischer Daten in raumabhängige Modelle der Strömungsdynamik
In kalten Plasmen reagieren die Elektronentransporteigenschaften und Quellterme sehr empfindlich auf die Elektronenenergieverteilungsfunktion (EEDF). Der Einfachheit halber wird häufig eine Maxwellsche oder andere analytische EEDF angenommen. In vielen praktischen Situationen befinden sich Elektronen jedoch weit vom Gleichgewicht entfernt, sodass eine genauere Darstellung der EEDF erforderlich ist, um realistische Simulationsergebnisse zu erhalten.
Eine gängige und effektive Methode zur Berechnung der EEDF in Niedertemperaturplasmen ist die Lösung der Boltzmann-Gleichung unter Verwendung der Zwei-Term-Näherung. Diese berechneten EEDFs können dann in räumlich abhängige Modelle importiert werden, wie in einem früheren Blog-Beitrag beschrieben: The Boltzmann Equation, Two-Term Approximation Interface. Dieser Ansatz ist sowohl effizient als auch praktisch, hat jedoch eine wesentliche Einschränkung: Die resultierenden EEDFs sind nur Funktionen der mittleren Elektronenenergie. Daher können Schwankungen aufgrund von Änderungen der Gaszusammensetzung (Stoffmengenanteile) und des Ionisationsgrades nicht erfasst werden.
Am anderen Ende des Komplexitätsspektrums bietet das Plasma Module, ein Add-On zu COMSOL Multiphysics®, die Möglichkeit, die Boltzmann-Gleichung (in der Zwei-Term-Näherung) vollständig gekoppelt mit einem räumlich und zeitlich aufgelösten Plasma-Fluid-Modell zu lösen. Diese Methode wird in dem Modell GEC-ICP-Reaktor demonstriert und berücksichtigt automatisch Schwankungen in der Gaszusammensetzung (einschließlich angeregter Zustände), dem Ionisationsgrad und anderen Faktoren. Dieser vollständig gekoppelte Ansatz ist jedoch mit einem deutlich höheren Rechenaufwand verbunden.
Ein dritter Ansatz besteht darin, ein Deep-Neural-Network-Ersatzmodell zu entwickeln, das auf Daten trainiert wird, die aus der Boltzmann-Gleichung unter Verwendung der Zwei-Term-Näherung generiert wurden. Nach dem Training kann das DNN direkt in räumlich abhängige Plasmasimulationen integriert werden, um kinetische Effekte mit nahezu Boltzmannscher Genauigkeit zu reproduzieren. Durch die Kombination der Präzision der kinetischen Modellierung mit der Recheneffizienz von Fluidmodellen bietet diese hybride Methode ein effektives Gleichgewicht zwischen Genauigkeit und Leistung.
Generieren der Daten für das Ersatzmodell
Der erste Schritt besteht darin, ein raumabhängiges Plasmamodell zu erstellen, das sich mit einer analytischen EEDF gut lösen lässt. In diesem Beispiel verwenden wir ein Modell eines induktiv gekoppelten Plasmareaktors in Argon. Fügen Sie innerhalb derselben MPH-Datei eine 0D-Komponente zusammen mit dem Interface Boltzmann Equation, Two-Term Approximation hinzu. Dieses Interface generiert die Daten, die zum Aufbau des Ersatzmodells erforderlich sind.
Die Einstellungen für das Interface Boltzmann Equation, Two-Term Approximation.
Es ist wichtig, dass die in den Interfaces Boltzmann Equation, Two-Term Approximation und Plasma definierten Elektronenstoßreaktionen konsistent, jedoch nicht unbedingt identisch sind. Beispielsweise kann die Lösung der approximierten Boltzmann-Gleichung ein detailliertes Set von Elektroneneinprallreaktionen umfassen, während das Interface Plasma eine vereinfachte Einzelreaktion enthalten kann, die die Gesamtionisation darstellt. In diesem Beispiel verwenden wir eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den Reaktionen.
Fügen Sie anschließend eine neue Studie hinzu, um die für das Training des Ersatzmodells erforderlichen Daten zu berechnen. Fügen Sie in diese Studie einen Knoten Surrogate Model Training ein. Mit diesem Knoten können Sie Trainingseinstellungen auswählen und Ausgangsgrößen (oder Größen von Interesse) definieren. Das eigentliche Training erfolgt im Knoten Deep Neural Network, der nach Ausführung der Studie automatisch generiert wird.
Für den Knoten Surrogate Model Training sind folgende Schritte wichtig:
- Setzen Sie den Ersatzmodelltyp auf Deep Neural Network.
- Legen Sie die Ebenen für das Deep Neural Network und die Aktivierungsfunktion fest.
- Definieren Sie die relevanten Größen und verwenden Sie für alle Configure study-dependent input.
- Stellen Sie die Eingabeparameter und die Sampling-Strategie ein.
Die relevanten Größen entsprechen den Ergebnissen des Ersatzmodells, die später im räumlich abhängigen Plasmamodell verwendet werden. In diesem Beispiel umfassen diese Funktionen für alle Elektroneneffektkonstanten, die reduzierte Elektronenbeweglichkeit, die effektive reduzierte Elektronenkollisionsfrequenz und den Feldkoeffizienten. Es ist zu beachten, dass sich die reduzierte Elektronenbeweglichkeit auf die Gleichstrombeweglichkeit bezieht, die für den Elektronentransport in der Ebene verwendet wird, während die effektive Kollisionsfrequenz und der Feldfaktor zur Berechnung der Plasmaleitfähigkeit beitragen (wie in Ref. 1 ausführlich beschrieben).
Die Auswahl der Eingabeparameter muss auf jeden Einzelfall zugeschnitten sein. Für dieses Beispiel werden zusätzlich zu der stets erforderlichen Parametrisierung der mittleren Elektronenenergie auch der Ionisationsgrad (Beta), definiert als das Verhältnis von Elektronendichte zu Gasdichte, und der Stoffmengenanteil des angeregten Zustands von Argon (xArs) erfasst. Um den Einfluss dieser Eingaben auf die Ergebnisse effektiv zu erfassen, sind nur wenige Stichprobenpunkte pro Dekade erforderlich, die wir durch gleichmäßige Stichprobennahme im logarithmischen Bereich erzielen.
Die Einstellungen für den Knoten Surrogate Model Training mit den Ebenen des DNN und den relevanten Größen.
Die Einstellungen für den Knoten Surrogate Model Training mit dem Abschnitt Input Parameters.
Training des Deep Neural Network
Nach der Durchführung der Studie mit dem Knoten Surrogate Model Training wird automatisch ein Knoten Deep Neural Network unter Global Definitions erstellt. Hier findet das eigentliche Training des DNN statt. Vor Beginn des Trainings sollten einige wichtige Anpassungen vorgenommen werden.
Die Aktivierung der Option Log scaling unter Scaling ist für viele relevante Größen von entscheidender Bedeutung, da diese häufig ein annähernd exponentielles Wachstum in Bezug auf die Eingaben aufweisen. Die Anwendung der Log-Skalierung auf diese Ausgaben verbessert die Trainingsleistung, indem Fehler über mehrere Größenordnungen hinweg effektiv ausgeglichen werden. Wählen Sie die Number of epochs zwischen 10.000 und 30.000, um ein ausreichendes Training sicherzustellen.
Wenn diese Einstellungen konfiguriert sind, können Sie auf Train Model klicken, um mit dem Training des neuronalen Netzwerks zu beginnen.
Ein Screenshot der Einstellungen des Knotens Deep Neural Network, der die Einstellungen für Data Column zeigt.
Bewertung relevanter Größen und Visualisierung der Anpassungsqualität
Um die Ausgabe des neuronalen Netzwerks zu visualisieren, klicken Sie einfach auf die Schaltfläche Create Plot im Fenster Settings. In diesem Beispiel möchten wir 1D-Plots als Funktion der mittleren Elektronenenergie erstellen. Ändern Sie dazu die Einstellungen im Abschnitt Plot Parameters wie in der Abbildung unten gezeigt und klicken Sie dann auf Create Plot. Dadurch wird ein Plot der Geschwindigkeitskonstante für die Elektronenstoßreaktion 4 erstellt, wobei der Stoffmengenanteil des angeregten Zustands von Argon und der Ionisationsgrad jeweils auf 10-6 gesetzt sind. Außerdem wird automatisch ein Datensatz Grid 1D erstellt, der für weitere Auswertungen und die Darstellung der Funktion des neuronalen Netzwerks verwendet werden kann.
Ein Screenshot der Einstellungen des Knotens Deep Neural Network, in dem die Parametereinstellungen für den Plot angezeigt werden.
Jede relevante Größe kann mithilfe eines Funktionsnamens berechnet werden, der aus dem im Knoten Surrogate Model Training definierten Funktionsnamen gebildet wird, dem der DNN-Name vorangestellt wird. Beispielsweise kann die Geschwindigkeitskonstante für die Elektronenstoßreaktion 4 wie folgt berechnet werden:
dnn1_k_4( Argument_1 , Argument_2, Argument_3)
wobei Argument_1 , Argument_2 und Argument_3 jeweils den Logarithmus zur Basis 10 des Stoffmengenanteils des angeregten Zustands von Argon, den Logarithmus zur Basis 10 des Ionisationsgrades und die mittlere Elektronenenergie bezeichnen.
Die folgenden Abbildungen zeigen einen Vergleich zwischen den berechneten Daten mit dem Interface Boltzmann Equation, Two-Term Approximation und den entsprechenden Auswertungen aus dem trainierten neuronalen Netzwerk für zwei relevante Größen: Elektronenbeweglichkeit und Ionisationsratenkoeffizient aus dem Grundzustand. Diese Ergebnisse werden als Funktionen der mittleren Elektronenenergie für xAsr = Beta = 10⁻⁶, 10⁻⁴ und 10⁻³ dargestellt. Zu Referenzzwecken sind auch die unter der Annahme einer Maxwellschen EEDF berechneten Werte enthalten. Insgesamt liefert das neuronale Netzwerk eine sehr gute Übereinstimmung mit den berechneten Daten über den gesamten Parameterraum.
Wie dargestellt, unterscheiden sich die mit dem Interface Boltzmann Equation, Two-Term Approximation berechneten Größen erheblich von denen, die unter Verwendung einer Maxwellschen Verteilung berechnet wurden, insbesondere im Niedrigenergiebereich, in dem die meisten Kaltplasmareaktoren betrieben werden. Dies unterstreicht nicht nur die Bedeutung einer genauen Berechnung der EEDF, sondern auch die erhebliche Abhängigkeit der Transport- und Reaktionsraten sowohl vom Stoffmengenanteil des angeregten Zustands von Argon als auch vom Ionisationsgrad.
Ionisationsratenkoeffizient vom Grundzustand als Funktion der mittleren Elektronenenergie für einen Stoffmengenanteil von Ars und einen Ionisationsgrad von 10⁻⁶, 10⁻⁴ und 10⁻³. Die durchgezogenen Linien (blau, rot und grün) stellen die Ergebnisse des Ersatzmodells dar, und die Symbole (offene Kreise) sind die mit dem Interface Boltzmann Equation, Two-Term Approximation berechneten Daten.
Verwendung des DNN in einem raumabhängigen Modell
Um das DNN in einem räumlich abhängigen Plasmamodell zu verwenden, rufen Sie es einfach als Funktion auf, wie Sie es mit jedem benutzerdefinierten Ausdruck tun würden, wie in den folgenden Abbildungen dargestellt. In diesem Beispiel ersetzen wir alle Elektronenstoßkoeffizienten, die reduzierte Elektronenbeweglichkeit, die effektive Kollisionsfrequenz und den Feldkoeffizienten. Ein wichtiger Aspekt ist, dass Extrapolationen außerhalb des Bereichs der Trainingsdaten in der Regel unzuverlässig sind und nicht berücksichtigt werden sollten. Um dies zu verhindern, implementieren wir harte Obergrenzen an den Rändern des parametrischen Sweep-Bereichs mit den folgenden Ausdrücken:
betaSpace = log10(if(betaVar> Lmax, Lmax, if(betaVar < Lmin, Lmin, betaVar)))
xArsSpace = log10(if(plas.x_wArs > Lmax, Lmax, if(plas.x_wArs < Lmin, Lmin, plas.x_wArs)))
wobei Lmin = 1e-6 und Lmax = 1e-3.
Ausgabe des DNN, das zur Festlegung der Geschwindigkeitskonstante für die Ionisierung aus dem Grundzustand als Funktion des Stoffmengenanteils von Ars, des Ionisationsgrades und der mittleren Elektronenenergie verwendet wird.
Anwendung des Deep-Neural-Network-Ersatzmodells auf einen induktiv gekoppelten Plasmareaktor
In diesem speziellen Fall sind die Unterschiede zwischen den Modellergebnissen zwar erkennbar, jedoch relativ geringfügig. Dies liegt daran, dass der hohe Ionisationsgrad im Großteil des Plasmas dazu führt, dass sich die EEDF einer Maxwellschen Form annähert. Die signifikantesten Unterschiede zeigen sich in der Elektronentemperatur und der Anzahldichte des angeregten Argons, wie in den folgenden Abbildungen dargestellt.
Mit einer Maxwellschen EEDF (unten) und mit dem Ersatzmodell (oben) berechnete Elektronentemperatur.
Die Anzahldichte des angeregten Zustands von Argon, berechnet mit einer Maxwellschen EEDF (unten) und mit dem Ersatzmodell (oben).
Mit einer Maxwellschen EEDF lässt sich die Ionisierung leichter erhalten, sodass die Entladung bei einer niedrigeren Elektronentemperatur aufrechterhalten werden kann. Unter Betriebsbedingungen mit geringem Ionisationsgrad kann eine Maxwellsche Annahme jedoch zu Ergebnissen führen, die erheblich von der Realität abweichen. In solchen Fällen ist die Verwendung einer genaueren EEDF für eine zuverlässige Modellierung von entscheidender Bedeutung.
Die Rechenzeit für das ICP-Modell unter Verwendung des Deep Neural Network und eines zeitabhängigen Lösers beträgt etwa 10 Minuten. Im Gegensatz dazu dauert die Lösung der Boltzmann-Gleichung in der Zwei-Term-Näherung, vollständig gekoppelt mit dem Plasmamodell, etwa eine Stunde. Dies unterstreicht den erheblichen Vorteil der Einbindung von DNNs zur Einführung kinetischer Effekte in ein Plasmamodell. Selbst wenn man die Zeit berücksichtigt, die für die Erstellung der Daten und das Training des DNN erforderlich ist, bleiben die Vorteile erheblich, da das DNN für verschiedene Anwendungen wiederverwendet werden kann, wodurch sich der Zeitaufwand im Laufe der Zeit effektiv verringert. In dem in diesem Blog-Beitrag vorgestellten Modell reduzieren wir die Rechenkosten weiter, indem wir einen stationären Löser verwenden, der mit den Ergebnissen des mit der analytischen EEDF gelösten Modells initialisiert wird. Diese Methode ist für stationäre Lösungen mit einer Rechenzeit von nur wenigen Sekunden äußerst effizient.
Nächste Schritte
Um das in diesem Blog-Beitrag vorgestellte Beispiel auszuprobieren, klicken Sie auf die Schaltfläche unten. Dadurch gelangen Sie zur Application Gallery, wo Sie die MPH-Datei für das Modell herunterladen können.
Referenz
- G.J.M. Hagelaar and L.C. Pitchford, “Solving the Boltzmann equation to obtain electron transport coefficients and rate coefficients for fluid models,” Plasma Sources Science and Technology, Vol. 14, S. 722–733, 2005
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