Für diejenigen, die sich noch nicht mit Unsicherheitsquantifizierung (UQ) befasst haben, stellt dieser Blog-Beitrag das Konzept anhand eines einfachen Widerstandsbeispiels vor. Wir behandeln vier Studientypen im Uncertainty Quantification Module, darunter Screening, Sensitivität, Fortpflanzung und Zuverlässigkeit.
Was ist Unsicherheit und warum ist sie für Ingenieure relevant?
Erinnern Sie sich an Roberto Baggio, den herausragenden Fußballspieler, der im Finale der FIFA-Weltmeisterschaft 1994 einen entscheidenden Elfmeter verfehlte? Der Grund für diesen dramatischen Fehlschuss könnte in den versteckten Variablen liegen: der Zufälligkeit der Kraft und des Winkels des Schusses, der Feuchtigkeit, die die Oberfläche des Balls beeinflusst, und dem Chaos in der Luftströmung. Jeder dieser winzigen, unvorhersehbaren Faktoren kann das Ergebnis verändern. Als Menschen können wir keine absolute Präzision in unseren Bewegungen garantieren oder alle Variablen in unserer Umgebung kontrollieren — das Gleiche gilt für Maschinen.
Das Rose Bowl in Pasadena, Kalifornien, war Austragungsort des Finales des FIFA World Cup® 1994. Diese Datei ist verfügbar unter CC BY-SA 2.0 via Wikimedia Commons.
Im Bereich der technischen Entwicklung und Fertigung sind wir häufig mit kleinen, unkontrollierbaren Abweichungen konfrontiert, die die Leistungsfähigkeit unserer Produkte beeinflussen können. Genauso wie Baggios Schuss von versteckten Faktoren beeinflusst wurde, können auch Widerstände, Schaltkreise, Smartphones — oder fast jedes andere Produkt — durch Abweichungen bei Materialien, Abmessungen und Umgebungsbedingungen während der Fertigung beeinträchtigt werden. Diese Unsicherheiten können sich summieren und schließlich zu Produktfehlern, Ertragsproblemen oder den Toleranzangaben führen, die Sie auf Produktdatenblättern finden (wie beispielsweise bei Metallfilmwiderständen).
Geht ein Widerstand in ein Labor…
Wenn Sie sich jemals mit Elektronik beschäftigt haben, sind Sie wahrscheinlich schon einmal auf diese kleinen zylindrischen Bauteile mit bunten Bändern gestoßen: Widerstände. Diese Bänder dienen nicht nur der Optik — sie geben sowohl den Widerstandswert als auch dessen Toleranz an, wie in Abbildung 1 dargestellt. Übliche Toleranzen sind ±10 %, ±5 % oder bei Präzisionswiderständen sogar noch enger, was in der Regel mit höheren Kosten verbunden ist. Diese Toleranz spiegelt die akzeptable Abweichung vom Nennwert wider, die durch die inhärente Variabilität des Herstellungsprozesses bedingt ist.
Abbildung 1. Widerstands-Codes einschließlich der Informationen zu Widerständen und Toleranzen. Diese Datei ist verfügbar unterCreative Commons CC0 1.0 Universal Public Domain Dedication über Wikimedia Commons.
Die Struktur eines Metallfilmwiderstands ist komplexer, als es auf den ersten Blick erscheinen mag. Abbildung 2 zeigt, dass ein typischer Widerstand einen Keramikkern, eine dünne Widerstandsschicht und häufig einen spiralförmigen Einschnitt zur Feinabstimmung des Widerstandswerts umfasst. Der Widerstand hängt in erster Linie vom Widerstand der Schicht, der Geometrie des Leitungspfades und der Präzision ab, mit der er während der Herstellung angepasst werden kann. Jeder dieser Parameter — Schichtdicke, Breite des spiralförmigen Einschnitts oder sogar geringfügige Fehlausrichtungen — birgt ein gewisses Maß an Unsicherheit. Abbildung 3 veranschaulicht konzeptionell, wie Schwankungen der Eingabeparameter zu einer Verteilung der Widerstandswerte führen können. (Hinweis: Dies ist ein vereinfachtes Beispiel zu Erklärungszwecken.)
Abbildung 2. Struktur und Komponenten eines Metallfilmwiderstands.
Abbildung 3. Eine Illustration, die veranschaulicht, wie sich die unterschiedlichen Verteilungen der Eingabeparameter auf die Widerstandsverteilung auswirken können.
Für Hersteller bedeutet die strenge Kontrolle der Widerstandstoleranzen, das richtige Gleichgewicht zwischen Leistung und Kosten zu finden. Dazu gehört die Minimierung von Schwankungen bei Materialien und Prozessen — von der Konsistenz der Widerstandsschicht bis zur Präzision des spiralförmigen Trimmens. Selbst geringfügige Veränderungen der Fertigungsbedingungen, wie Werkzeugverschleiß oder Temperaturdrift, können den Widerstand beeinflussen. Mithilfe der Unsicherheitsquantifizierung können Hersteller simulieren, wie sich diese kleinen Schwankungen auf die Leistung auswirken, und ermitteln, welche Produktionsfaktoren optimiert werden sollten, um die Ausbeute und die Produktzuverlässigkeit zu verbessern.
Für Ingenieure, die diese Widerstände in Schaltungen integrieren, verlagert sich der Fokus darauf, wie sich Parameterabweichungen auf das Verhalten der Schaltung auswirken. Funktioniert ein Spannungsteiler mit einem Widerstand, der um 5 % abweicht, weiterhin wie erwartet? Wie verhält es sich mit einer Zeitsteuerungsschaltung, die auf präzisen RC-Konstanten basiert? Die UQ hilft dabei, klare Antworten auf diese Designfragen zu finden, indem sie den Bereich und die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse aufzeigt — und das alles noch vor dem Bau eines Prototyps.
Das Uncertainty Quantification Module
Um dieses Szenario weiter zu untersuchen, haben wir in der Software COMSOL Multiphysics® mithilfe des Interface Electric Currents ein Widerstandsmodell erstellt, das in Abbildung 4 dargestellt ist. An die beiden Anschlüsse wurde eine Spannungsdifferenz angelegt, und der Widerstand wurde aus der Verlustleistung berechnet. Der Widerstand wurde als relevante Größe V_0^2/\int qdV festgelegt, wobei q die volumetrische Verlustdichte ist. Anschließend haben wir eine Reihe von UQ-Studien mit dem Uncertainty Quantification Module durchgeführt.
Die einzelnen Studientypen in diesem Modul sind wie folgt konzipiert:
- Screening: Schnelles Ermitteln der relevanten Parameter eines Widerstands.
- Sensitivität: Quantifizierung der Wichtigkeit dieser Parameter.
- Fortpflanzung: Die Auswirkungen. Wie sieht die Verteilung des Widerstands auf der Grundlage aller Verteilungen der Eingabeparameter aus?
- Zuverlässigkeit: Können wir dem Design vertrauen? Die Wahrscheinlichkeit, dass der Widerstand unter oder über einen bestimmten Wert fällt.
Abbildung 4. Modell eines Widerstands in COMSOL Multiphysics.
Screening-Analyse: Identifizierung der wichtigsten Parameter
Die erste durchgeführte UQ-Studie ist eine Screening-Analyse unter Verwendung der Morris-One-at-a-Time-Methode (MOAT). Diese Studie berücksichtigt mehrere Eingabeparametern mit angenommenen Verteilungen, die überwiegend normalverteilt sind (Abbildung 5).
Abbildung 5. Die Eingabeparameter.
Abbildung 6 zeigt die einflussreichsten Parameter als MOAT-Mittelwerte, wobei der Radius (R), die Höhe (H), die Leitfähigkeit (Sigma2) und die Breite des spiralförmigen Kohlenstoffausschnitts (Tcar) hervorgehoben sind. Dies entspricht den theoretischen Erwartungen und ermöglicht es uns, die folgenden Analysen zu optimieren, indem wir uns nur auf diese Schlüsselvariablen konzentrieren und so den Rechenaufwand reduzieren.
Abbildung 6. Der MOAT-Mittelwert ist proportional zum Gesamteffekt eines Parameters auf die relevante Größe.
Sensitivitätsanalyse: Messung der Auswirkungen
Anschließend haben wir eine Sensitivitätsanalyse unter Verwendung eines Polynomial-Chaos-Expansions-Ersatzmodells (PCE) durchgeführt, das automatisch erstellt wurde, um den Eingaberaum effizient zu untersuchen. Abbildung 7 zeigt die Sobol-Indizes, die den Beitrag jedes Parameters zur Widerstandsvarianz quantifizieren. Die Ergebnisse zeigen, dass die Höhe (H) der dominierende Faktor ist, gefolgt von der Leitfähigkeit (Sigma2) und der Breite des Einschnitts (Tcar).
Abbildung 7. Sobol-Index gegen die Eingabeparameter.
Unsicherheitsfortpflanzung: Verstehen der Outputverteilung
In der Unsicherheitsfortpflanzungsstudie nehmen wir Stichproben der Eingabeparameterverteilungen und erstellen ein Kerndichteschätzungsdiagramm (Kernel Density Estimation, KDE, Abbildung 8). Dieses Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Widerstandswerts. Das Ergebnis vermittelt den Herstellern ein realistisches Bild davon, wie der Widerstand zwischen den Produktionsmustern variieren kann. Das Plot zeigt, dass die höchste Wahrscheinlichkeitsdichte bei einem Widerstandswert von 50 auftritt. Gemäß der Konfidenzintervalltabelle für die relevante Größe beträgt der Mittelwert des vorhergesagten Widerstandswerts 50,099 und die Standardabweichung 2,5821.
Abbildung 8. Das Kerndichteschätzungsdiagramm.
Zuverlässigkeitsanalyse: Quantifizierung des Risikos
Schließlich schätzt eine Zuverlässigkeitsanalyse die Wahrscheinlichkeit, dass der Widerstand einen festgelegten Schwellenwert überschreitet, was bei allen Designs mit strengen Toleranzen nützlich ist. Abbildung 9 zeigt die Wahrscheinlichkeit, dass der Widerstand einen definierten Wert überschreitet, was dabei hilft, das Risiko frühzeitig im Designprozess zu quantifizieren. In diesem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit unter dieser Bedingung etwa 0,19 oder 19 %.
Zusammen bieten diese vier Studientypen ein umfassendes Verständnis davon, wie sich Variabilität der Eingabe auf die Leistung von Widerständen auswirkt, von der Identifizierung einflussreicher Parameter bis zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeit.
Abbildung 9. Wahrscheinlichkeit der Bedingungen.
Abschließende Gedanken zur Verwendung der UQ beim Design von Widerständen
Die Unsicherheitsquantifizierung bietet Ingenieuren und Herstellern die Möglichkeit zu verstehen, wie sich Schwankungen bei Materialien, Geometrien und Prozessen auf die Leistung auswirken. Unabhängig davon, ob Sie einen Prozess zur Herstellung von Widerständen optimieren oder die Stabilität eines Schaltungsdesigns bewerten, können Sie mit dem Uncertainty Quantification Module und COMSOL Multiphysics® die wichtigsten Variablen identifizieren, Outputschwankungen abschätzen und datengestützte Entscheidungen treffen, um ein Gleichgewicht zwischen Zuverlässigkeit und Kosten zu erreichen.
Ingenieure, die mit handelsüblichen Widerständen arbeiten, können auch die von den Herstellern bereitgestellten oder durch Messungen ermittelten Daten zur Widerstandsverteilung nutzen. Anstatt den Widerstand als festen Wert zu betrachten, können sie diese Verteilung direkt in einer UQ-Studie ihrer Schaltung verwenden. Dies ermöglicht eine frühzeitige Bewertung der Robustheit des Designs: So lässt sich beispielsweise feststellen, ob eine bestimmte Toleranz eines Widerstands Auswirkungen auf das Timing, die Verstärkung oder die Signalschwellenwerte hat — bevor die Hardware festgelegt wird.
Nächste Schritte
Um praktische Erfahrungen mit dem hier vorgestellten Modell zu sammeln, klicken Sie auf die Schaltfläche unten.
- Für einen tiefergehenden Einstieg empfehlen wir Ihnen den KursIntroduction to Uncertainty Quantification mit praktischen, simulationsbasierten Beispielen wie einem Halterungsmodell
- Einen fortgeschrittenen Anwendungsfall finden Sie in diesem Artikel über den Einsatz des Uncertainty Quantification Module für die Analyse der Frequenzvariation in einem MEMS-Resonator
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