Modellierung einer hyperbolischen Welle in einem geschichteten Metall-Dielektrikum-Metamaterial
Die exotischen elektromagnetischen Eigenschaften von Metamaterialien sind für die Forschung von großem Interesse. Metamaterialien ermöglichen die Manipulation von Licht im Nanomaßstab auf noch nie dagewesene Weise mit extremer Kontrolle über die Feldeigenschaften. In diesem Blog-Beitrag beschreiben wir den Aufbau einer Simulation zur Anregung einer hyperbolischen Welle in einem geschichteten Metall-Dielektrikum-Metamaterial und berechnen die effektive Permittivität der Struktur.
Eine Einführung zu Metamaterialien
Metamaterialien sind künstlich hergestellte Strukturen, die aus Bausteinen im Subwellenlängenbereich bestehen. Diese Strukturen weisen eine anisotrope Streuung auf, und ihre elektrischen Eigenschaften wie Permittivität, Permeabilität und Leitfähigkeit lassen sich durch Änderung von Form, Geometrie, Größe, Ausrichtung und Materialeigenschaften der sie bildenden Einheitszellen steuern. Mit entsprechend gewählten Steuerungsparametern können Metamaterialien so gestaltet werden, dass sie sich wie ein Metall (negative reale Permittivität) oder wie ein Dielektrikum (positive reale Permittivität) verhalten. Die metallischen oder plasmonischen Metamaterialien weisen zwei verschiedene Topologien auf: hyperbolisch und elliptisch. Bei hyperbolischen Topologien haben die Permittivitäten in den orthogonalen Achsen entgegengesetzte Vorzeichen; Bei elliptischen Topologien sind die Permittivitäten in allen Richtungen negativ.
Diese Art von plasmonischen Metamaterialien kann mit periodisch angeordneten metallischen und dielektrischen Schichten und metallischen Nanostäbchen, die in ein Dielektrikum eingebettet sind, mit einer Periodizität und Dimension im Subwellenlängenbereich aufgebaut werden. Die hyperbolischen Wellen, die sich innerhalb der Metamaterialstruktur ausbreiten, sind extrem begrenzt, und ihre Wellenlänge kann 100 Mal kleiner sein als die Wellenlänge im freien Raum. Durch diese besonderen elektromagnetischen Eigenschaften heben sich hyperbolische Metamaterialien von herkömmlichen isotropen Materialien ab und bieten potenzielle Anwendungsmöglichkeiten, wie beispielsweise einen verstärkten Superlensing-Effekt, Subdiffraction Imaging, Sensorik, negative Brechung, Energy Harvesting sowie Quanten- und Wärmetechnik.
Im folgenden Abschnitt besprechen wir den semiklassischen elektromagnetischen Ansatz zur Berechnung der Komponenten des Permittivitätstensors eines geschichteten Metall-Dielektrikum-Metamaterials.
Berechnung der Permittivität eines Metamaterials: Simulation vs. Effektiv-Medium-Theorie
Nehmen wir an, dass sich eine linear (vertikal) polarisierte elektrische Punktdipolquelle in Luft in der Nähe eines hyperbolischen Metamaterials befindet, das aus periodischen Subwellenlängen-Metall-Dielektrikum-Schichten besteht. Die vom Dipol abgestrahlten evaneszenten Felder koppeln an die Struktur und regen zwei Arten von Wellen an: ein Oberflächenplasmonenpolariton, das sich entlang der Metall-Luft-Grenzfläche ausbreitet, und eine hyperbolische Welle, die sich innerhalb des Metamaterials ausbreitet.
Schematische Darstellung eines elektrischen Punktdipols in Luft in der Nähe einer Metamaterialstruktur. Die Struktur besteht aus periodisch angeordneten metallischen und dielektrischen Schichten mit einer Subwellenlängen-Dicke und -Periodizität.
Der anisotrope relative Permittivitätstensor \varepsilon des Metamaterials kann durch Lösen der konstitutiven Gleichung berechnet werden. Er kann mit der elektrischen Flussdichte \textbf{D} und dem elektrischen Feld \textbf{E} wie folgt beschrieben werden:
1
Unter der Annahme, dass das Metamaterial nicht magnetisch ist, können die radialen und vertikalen Komponenten von \varepsilon wie folgt ausgedrückt werden:
2
3
Mithilfe der Gleichungen 2 und 3 kann der Permittivitätstensor des Metamaterials berechnet werden, wenn \textbf{D} und \textbf{E} bekannt sind. Um diese Werte in der COMSOL Multiphysics® Software zu ermitteln, können wir die Operatoren up und down nutzen, um die durchschnittlichen Komponenten der elektrischen Flussdichte und des elektrischen Feldes zu berechnen. Dann verwenden wir den Operator average um eine Integration der konstitutiven Gleichung \textbf{D}=\varepsilon\textbf{E} durchzuführen und die effektive Permittivität zu berechnen. Es ist erwähnenswert, dass diese Operatoren auf die inneren Metall-Dielektrikum-Grenzflächen im Metamaterial angewendet werden, um Felder mit Diskontinuität auf beiden Seiten der Grenzfläche auszuwerten.
Ein alternativer Ansatz zur Berechnung der Permittivität von Metamaterialien ist die Effektiv-Medium-Theorie. Im Subwellenlängenbereich können die diagonalen Komponenten mithilfe der Effektiv-Medium-Theorie wie folgt berechnet werden 1 :
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5
wobei F_m = t_m/(t_m+t_d) der Füllgrad des Metalls ist. Dabei sind t_m und t_d die Dicken der Metall- bzw. der dielektrischen Schichten und \varepsilon_m und \varepsilon_d die relativen Permittivitäten des Metalls bzw. des Dielektrikums.
Die Gleichungen 4 und 5 zeigen, dass die anisotrope Dispersion des Metamaterials von der Dicke der Metall-Dielektrikums-Schichten und dem Füllgrad abhängt. Die Werte von \varepsilon_{rr} und \varepsilon_{zz} können positiv oder negativ sein, abhängig von der Schichtdicke und den Materialeigenschaften.
Zur weiteren Veranschaulichung nehmen wir ein Metamaterial an, das aus Silber (Metall) und Siliziumdioxid (Dielektrikum) besteht. Die Realteile der Diagonalkomponenten des Tensors der relativen Permittivität sind unten gegen den Füllgrad des Metalls, F_m, geplottet und zeigen die dielektrischen, hyperbolischen und elliptischen Regime an. Hier zeigt \varepsilon_{zz} ein Resonanzverhalten, da es von der elektromagnetischen Kopplung zwischen den benachbarten Metallschichten abhängt, während \varepsilon_{rr} eine gleichmäßige Variation aufweist. Innerhalb des hyperbolischen Regimes haben die Komponenten des Permittivitätstensors entgegengesetzte Vorzeichen. Im Falle eines größeren F_m wird der Wert von \varepsilon_{zz} durch das größere Metallvolumen dominiert und ist negativ, was die elliptische Topologie erzeugt. Wenn F_m sehr klein ist, ist der Einfluss des Metalls auf die Eigenschaften des Metamaterials vernachlässigbar und es verhält sich wie ein anisotropes dielektrisches Medium.
Realteil der Diagonalkomponenten der effektiven relativen Permittivität des Metamaterials als Funktion des Metallfüllgrads. Das Metamaterial besteht aus periodisch angeordneten Silber- und Siliziumdioxidschichten mit einer Dicke und Periodizität im Subwellenlängenbereich.
Der folgende Abschnitt beschreibt den Simulationsaufbau zur Anregung hyperbolischer Wellen in einem Metamaterial.
Simulation der Anregung hyperbolischer Wellen
Dieser Abschnitt beschreibt die Möglichkeiten der Software COMSOL Multiphysics® zur Simulation hyperbolischer Wellen, die sich in einem Metamaterial ausbreiten, unter Verwendung des Feldes, das von einem in der Nähe befindlichen elektrischen Punktdipol abgestrahlt wird. Das Metamaterial besteht aus dünnen Schichten von periodisch angeordnetem Silber und Siliziumdioxid, deren Materialeigenschaften aus der integrierten Materialbibliothek der Software stammen. Das Interface Electromagnetic Wave, Frequency Domain mit achsensymmetrischer 2D-Geometrie, Teil des Add-On-Produkts Wave Optics Module, wird für dieses Modell verwendet. Das Feature Electric Point Dipole wird verwendet, um die linear (vertikal) polarisierte Dipolquelle zu modellieren, wie im folgenden Screenshot zu sehen, und es werden Perfectly Matched Layers (PML) verwendet, um die Wellen zu absorbieren und unerwünschte Reflexionen zu minimieren. Ein Studienschritt im Wellenlängenbereich wird durchgeführt, um die Felder des Gebiets zu berechnen. Ein weiterer Studienschritt im Wellenlängenbereich wird durchgeführt, um den effektiven Permittivitätstensor des Metamaterials in Abhängigkeit von der Wellenlänge zu berechnen. Die Komponenten des Permittivitätstensors, die mithilfe der Gleichungen 4 und 5 aus der Effektiv-Medium-Theorie und mithilfe der Gleichungen 2 und 3 aus der konstitutiven Gleichung berechnet wurden, werden in Abhängigkeit von der Wellenlänge im freien Raum berechnet.
Als Quelle wird ein linear (vertikal) polarisierter elektrischer Punktdipol verwendet. Die Wellenlängenbereiche werden in mehreren Schritten untersucht, um die Felder des Gebiets und die Metamaterialdispersion zu berechnen.
Ergebnisse
Nach Ausführung von Study 1 der Simulation können die im Metamaterial angeregten hyperbolischen Wellen visualisiert werden. Die Animation unten zeigt das instantane elektrische Feld bei 2,6 eV Photonenenergie. Wie oben beschrieben, regt der Dipol hyperbolische Moden an, die sich innerhalb des Metamaterials ausbreiten, sowie Oberflächenplasmonenpolaritonen an der Grenzfläche zwischen dem Metamaterial und der Luft, die sich in radialer Richtung vom Quellpunkt weg ausbreiten.
Simuliertes instantanes elektrisches Feld der hyperbolischen Welle, die im Metamaterial angeregt wird, und des Oberflächenplasmonenpolaritons, das sich an der Grenzfläche zwischen Metamaterial und Luft ausbreitet.
Die effektive relative Permittivität des Metamaterials kann nach Ausführung von Study 2 der Simulation berechnet werden. Die Ergebnisse werden mithilfe der Effektiv-Medium-Theorie und der Berechnung der konstitutiven Gleichung aus den Gleichungen 2 und 3 berechnet und stimmen, wie unten gezeigt, gut überein.
Diagonale Komponenten der effektiven Permittivität des Metamaterials, berechnet mit der Effektiv-Medium-Theorie (durchgezogene Linien) und der Simulation (Markierungen).
Zur weiteren Veranschaulichung, wie sich das Feldprofil in Abhängigkeit von der Photonenenergie ändert, zeigt die Animation unten die Norm des elektrischen Feldes der hyperbolischen Welle, wenn sich die Photonenenergie von 2,6 eV auf 1,4 eV ändert. Dies veranschaulicht, wie sich die hyperbolische Welle mit der Photonenenergie entwickelt.
Variation der hyperbolischen Wellen innerhalb des Metamaterials als Funktion der Photonenenergie von 2,6 eV bis 1,6 eV.
Die Informationen in diesem Blog-Beitrag können verwendet werden, um verschiedene Arten von plasmonischen Materialien in COMSOL Multiphysics® zu modellieren und die damit verbundene Wechselwirkung zwischen Licht und Materie zu untersuchen.
Probieren Sie es selbst aus
Möchten Sie selbst eine hyperbolische Welle in einem Metamaterial modellieren? Laden Sie das in diesem Blog-Beitrag besprochene Modell über den folgenden Link herunter.
Referenz
- T. Li and J.B. Khurgin, “Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory”, Optica 3, pp.1388–1396, 2016
Weitere Lektüre
- Mehr über Metamaterialien erfahren Sie in den folgenden Blog-Beiträgen:
Anmerkung des Herausgebers: Dieser Blog-Beitrag wurde am 12.09.2024 aktualisiert, um zu berücksichtigen, dass das Feature Electric Point Dipole, das in COMSOL Multiphysics® Version 6.3 eingeführt wurde, nun in diesem Modell verwendet wird.
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