Nutzung von Symmetrien in der HF- und Wellenoptik-Modellierung

Eine Möglichkeit, die Größe und Rechenkomplexität eines Finite-Elemente-Modells zu vereinfachen und zu reduzieren, besteht darin, etwaige Symmetrien zu nutzen. Die Reduzierung von Modellen ist besonders wichtig, wenn es um rechenintensive Projekte im Bereich der Wellenelektromagnetik geht. Aufgrund ihrer vektoriellen Natur folgen elektrische und magnetische Felder jedoch nicht zwangsläufig möglichen vorhandenen geometrischen Symmetrien. Daher sind stets besondere Sorgfalt und der Nachweis der korrekten Implementierung erforderlich, um Konsistenz zu gewährleisten.

In diesem Blog-Beitrag stellen wir den typischen Workflow in COMSOL Multiphysics^® zur Ausnutzung von Symmetrien in der HF- und Wellenoptik-Modellierung vor. Wir konzentrieren uns dabei auf das weithin genutze Interface Electromagnetic Waves, Frequency Domain und behandeln die richtige Wahl der Randbedingungen, diskutieren, wie ein Modell zur Validierung der erhaltenen Ergebnisse effektiv organisiert werden kann, und werfen einen Blick auf verschiedene Techniken zur Analyse der Ergebnisse, einschließlich Fernfeldberechnungen und Bewertungen von Lumped-Parametern.

Ein Beispiel für die Vorteile der Anwendung von Symmetriebedingungen: Eine ebene Welle, die von einer Nanosphäre gestreut wird

Beginnen wir mit einem grundlegenden Beispiel aus der Wellenoptik, bei dem eine ebene Welle von einer im freien Raum schwebenden Nanosphäre gestreut wird. Konkret betrachten wir eine ebene Welle mit einer Wellenlänge von 500 nm, die in z-Richtung polarisiert ist und sich in positiver x-Richtung ausbreitet, sowie ein Nanopartikel mit einem Radius von 100 nm und einem komplexen Brechungsindex aus der Optical Materialbibliothek (Rakic et al. 1998).

Um dieses Szenario zu modellieren, verwenden wir das Interface Electromagnetic Waves, Frequency Domain mit der Formulierung Scattered field und schließen den umgebenden Freiraum mit Perfectly Matched Layers, um sicherzustellen, dass es an den äußeren Rändern zu keiner Reflexion kommt. Als Ergebnis interessiert uns unter anderem das Fernfeld-Streumuster. Daher fügen wir ein Feature Far-Field Domain hinzu, um die entsprechende Visualisierung zu erhalten. Wir verwenden das Standardnetz Physics-controlled mesh mit aktiviertem Kontrollkästchen Resolve wave in lossy media und die Studie Wavelength Domain. Nachfolgend sehen Sie einen Ausschnitt der Benutzeroberfläche von COMSOL Multiphysics^® mit einigen dieser Einstellungen.

Das vollständige Geometriemodell einer ebenen Welle, die von einer Nanosphäre gestreut wird. Die Streufeldformulierung ist im Einstellungsfenster hervorgehoben. Im Grafikfenster wird das resultierende Gesamtfeld (der Multislice-Plot) zusammen mit dem Leistungsfluss im System (dem Arrow-Volume-Plot) gezeigt.

Obwohl dieses Beispiel hinsichtlich Speicherbedarf und Zeitaufwand für das Erzielen der Ergebnisse eher bescheiden ist, schadet es nie, diese Werte zu reduzieren. Je komplexer ein Modell ist und je mehr Tests wir durchführen müssen, desto größer ist die Leistungssteigerung, die wir durch die Reduzierung der Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade erzielen können. Das Ausnutzen von Symmetrien ist eine der naheliegendsten und effizientesten Möglichkeiten, dies zu erreichen.

Weiter unten in diesem Beitrag werden wir die Leistungssteigerung für ein Modell einer Patchantenne besprechen.

In Bezug auf die Geometrie haben wir, da der Mittelpunkt der Nanopartikel auf den Ursprung ausgerichtet ist, drei mögliche Symmetrieebenen: xy, zy und yz. Überprüfen wir also, ob eine davon für die Reduktion verwendet werden kann. Doch bevor wir fortfahren, ist es wichtig, das Verhalten von elektrischen und magnetischen Feldern über eine Symmetrieebene hinweg sowie die entsprechenden maßgeblichen Gleichungen zu betrachten.

Physik und Implementierung der Symmetrie elektromagnetischer Felder

Gemäß den Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen können wir eine Symmetrieebene implementieren, wenn entweder die tangentialen elektrischen Felder oder die tangentialen magnetischen Felder über diese Ebene hinweg null sind. Wenn die tangentialen elektrischen Felder null sind, haben wir eine Spiegelsymmetrie im Magnetfeld; dies kann als \textbf{n} \times \textbf{E} = 0 beschrieben werden. Wenn keine tangentialen Magnetfelder vorhanden sind, haben wir eine Spiegelsymmetrie im elektrischen Feld, das sich wie folgt beschreiben lässt: \textbf{n} \times \textbf{H} = 0.

Die gute Nachricht ist, dass diese Spiegelsymmetrien in COMSOL Multiphysics^® leicht implementiert werden können. Seit Version 6.1 enthält das Interface Electromagnetic Waves, Frequency Domain eine spezielle Bedingung Symmetry Plane mit den Optionen Zero tangential electric field (PEC), was der Bedingung Perfect Electric Conductor entspricht, und Zero tangential magnetic field (PMC) äquivalent zu der Bedingung Perfect Magnetic Conductor. Beide Fälle sind unten schematisch dargestellt.

Eine ähnliche Funktionalität ist im AC/DC Module für die Interfaces verfügbar, die für die Behandlung elektrischer und magnetischer Felder ausgelegt sind.

Zwei Skizzen veranschaulichen zwei mögliche Symmetriebedingungen. Das linke Bild zeigt eine Spiegelsymmetrie für das Magnetfeld, die mit der Option Zero tangential electric field (PEC) modelliert wurde. Das rechte Bild zeigt eine Spiegelsymmetrie für das elektrische Feld, die mit der Option Zero tangential magnetic field (PMC) modelliert wurde.

Mit diesen Informationen im Hinterkopf kehren wir zu unserem Beispiel zurück und klären, wo wir die Bedingung Symmetry Plane anwenden können.

Bestimmung möglicher Symmetrien

Im Folgenden finden Sie eine grobe Checkliste mit Fragen, die Sie stellen sollten, um die Auswahl geeigneter Symmetrieebenen zu optimieren:

• Lässt die Richtung der Wellenausbreitung und -streuung auf einer bestimmten Ebene die Ausnutzung von Symmetrien zu?
• Was geschieht mit der Wellenpolarisation in einer möglichen Symmetrieebene?
• Können wir davon ausgehen, dass entweder die tangential elektrischen oder die tangential magnetischen Felder auf einer bestimmten Ebene null sind?
  • Oder ist vielmehr zu erwarten, dass sich die Ausrichtung dieser Felder im Raum entlang der gegebenen Ebene aufgrund einer komplexen (z. B. zirkularen) Wellenpolarisation ändert?
• Ist mit der Anregung höherer Moden zu rechnen, die eine andere Symmetrie aufweisen?

Die Antwort auf diese Fragen hängt von der jeweiligen Situation ab. Manchmal ist die Antwort eindeutig. In unserem Testfall können wir beispielsweise die yz-Ebene sofort ausschließen: Das Hintergrundfeld breitet sich in ihre Richtung aus, und es ist zu erwarten, dass die Streuung in beide Richtungen sowohl hinsichtlich der Richtung als auch der Amplitude unterschiedlich ist.

Um festzustellen, ob die beiden anderen Ebenen verwendet werden können, sind möglicherweise einige Überlegungen und/oder Vorversuche erforderlich. Das Hintergrundfeld ist in z-Richtung polarisiert, sodass wir die Spiegelsymmetrie für die elektrischen Felder („E-Felder“) in der zx-Ebene und die Spiegelsymmetrie für die magnetischen Felder („H-Felder“) in der xy-Ebene berücksichtigen können. Die Mie-Streuung hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Polarisation in diesen Ebenen und führt nicht zur Erzeugung von Moden, die die gewählte Symmetrie brechen. Da wir eine Lösung für die gesamte Geometrie haben, können wir dies leicht überprüfen, indem wir eine Vektordarstellung der elektrischen und magnetischen Felder in den Schnittebenen zx und xy plotten. Dies kann mit dem Plot-Typ Arrow Volume implementiert werden, der bei der Analyse von Vektorfeldern äußerst praktisch ist.

E-Felder (rote Pfeile) und H-Felder (blaue Pfeile) in den Schnittebenen zy (linkes Bild) und xy (rechtes Bild).

Die Arrow-Volume-Plots bestätigen, dass die Bedingung Symmetry Plane mit der Option Zero tangential magnetic field (PMC) auf die zx-Ebene und mit der Option Zero tangential electric field (PEC) auf die xy-Ebene angewendet werden kann.

Nun können wir diese Vereinfachungen in unserem Modell nutzen.

Implementierung von Symmetrien in der Geometrie und der Physik

Für die Geometrie sollten wir für jede Symmetrieebene eine Arbeitsebene erstellen, diese verwenden, um die gesamte Geometrie mithilfe der Operation Partition Objects zu partitionieren, und schließlich alle nicht mehr benötigten Elemente mit der Operation Delete Entities löschen. Dieser Workflow wird hier ausführlich beschrieben. Da wir in unserem Fall über das vollständige Modell verfügen, ist es sinnvoll, die gesamte Komponente zu kopieren und einzufügen, was einer Duplizierung entspricht, und alle diese Geometrieänderungen in der zweiten Komponente vorzunehmen.

Auf den Physikebene müssen wir nach der Reduzierung der Geometrie hauptsächlich die Bedingung Symmetry Plane für jede einzelne Ebene hinzufügen. Es ist vorzuziehen, die Bedingung Symmetry Plane anstelle der separaten Bedingungen Perfect Electric Conductor und Perfect Magnetic Conductor zu verwenden. Wenn die Bedingung Symmetry Plane hinzugefügt wird, werden bestimmte Ausdrücke in den Knoten Port, Lumped Port, Cross Section Calculation und Far-Field Domain automatisch angepasst. Der letzte Knoten ist für unser Beispiel sehr nützlich, da die Auswertung der Fernfeldergebnisse hier von großer Bedeutung ist.

Sie können die Option Group by continuous tangent im Grafikfenster verwenden, um mit einem Klick alle relevanten Ränder auszuwählen.

Nachdem wir die Physikeinstellungen vorgenommen haben, können wir eine neue Studie Wavelength Domain für das Interface Electromagnetic Waves, Frequency Domain hinzufügen. Damit kommen wir zum interessantesten Teil jeder Simulation – der Visualisierung und Auswertung der Ergebnisse.

Analyse eines reduzierten Modells mit Symmetriebedingungen

Wie Sie im folgenden Screenshot sehen können, sind für die Fernfeldvisualisierung keine zusätzlichen Einstellungen erforderlich, um die vollständigen Abstrahlcharakteristiken zu erzeugen, wenn wir das Feature Symmetry Plane verwenden und die Option From Symmetry plane(s) in den Einstellungen des Unterknotens Far-Field Calculation auswählen.

Das reduzierte Modell einer ebenen Welle, die an einer Nanosphäre mit zwei Symmetrieebenen streut. Die Fernfeld-Plots sind dargestellt. Sie erzeugen automatisch die Abstrahlungscharakteristik für die gesamte Geometrie.

Die E-Feld-Plots werden hingegen standardmäßig mit der reduzierten Geometrie angezeigt. Sie können jedoch mehrere zusätzliche Mirror 3D-Datensätze hinzufügen, um die vollständige Geometrie bei der Visualisierung der Ergebnisse wiederherzustellen. Diese Datensätze verfügen über die erweiterte Einstellung Vector transformation, die mit der implementierten Symmetrie abgeglichen werden muss. In unserem Beispiel benötigen wir für die zx-Spiegelung die Option Antisymmetric. Ein Hinweis: Die Option Antisymmetric ist nur erforderlich, wenn Sie Vektorfelder plotten möchten. Für die skalaren Variablen behalten Sie am besten die Standardeinstellungen bei.

Die gleiche Überlegung gilt, wenn wir eine Integrationsoperation durchführen, wie beispielsweise die Abschätzung der Gesamtleistung, die in dem verlustbehafteten Partikel absorbiert wird. Wir können entweder einen zusätzlichen Mirror 3D-Datensatz verwenden oder einfach den entsprechenden Multiplikationsfaktor manuell hinzufügen, wenn wir den Standard-Datensatz Solution verwenden.

Zwei weitere Beispiele

Sehen wir uns zwei weitere Beispiele an, in denen wir Symmetrien nutzen können. Wir werden sie etwas schneller durchgehen und uns nur auf die Aspekte konzentrieren, die wir mit dem Nanosphären-Streuungsmodell nicht abbilden konnten. Diese beiden Beispiele sowie das erste Modell stehen am Ende dieses Blog-Beitrags zum Download bereit.

Eine Patchantenne mit Lumped-Port-Modellierung

Die Antennenmodellierung ist ein weiterer Bereich, in dem wir von der Ausnutzung von Symmetrien profitieren können. Zur Veranschaulichung betrachten wir das Tutorial-Modell Microstrip Patch Antenna aus der frei zugänglichen Application Gallery von COMSOL. Wir zeigen, wie sich die Aufteilung in die yz-Ebene und die Implementierung einer Symmetry Plane mit der Option Zero tangential magnetic field (PMC) sowohl auf die Darstellung der Lumped-Parameter als auch auf einen regulären Frequenz-Sweeps auswirkt.

Der wesentliche Aspekt hierbei ist, dass wir bei der Reduzierung des Modells den abstrahlenden Lumped Port halbieren. Diese Bedingung enthält die Option Characteristic impedance adjustment by symmetry plane. Wenn Sie dieses Kontrollkästchen aktivieren, können Sie den Wert für die charakteristische Impedanz der vollständigen Geometrie beibehalten, auch wenn Sie die Fläche des Ports um den Faktor zwei verringert haben. Auf diese Weise können Sie alle Variablen, die von diesem Wert abhängen, wie z. B. die Portspannung, die S-Parameter, die realisierte Verstärkung usw., direkt auswerten. Sobald jedoch die Portleistung und Impedanz durch die randbasierte Integration berechnet wurden, müssen wir sie skalieren, um die korrekten Werte zu erhalten. Diese Skalierungsanforderung ähnelt derjenigen, die wir im ersten Beispiel für die volumetrische Verlustintegration gesehen haben.

Außerdem sollten wir darauf achten, in welche Richtung wir den Rand des Lumped Port schneiden und wie sich dies auf die Amplitude der Eingabespannung auswirkt. Beim Patchantennenmodell bleibt die Dicke gleich, sodass die Spannungsamplitude nicht skaliert werden muss. Würde die Symmetrie jedoch senkrecht zur elektrischen Feldrichtung über den Lumped Port geschnitten, müssten wir die Spannungsamplitude skalieren, indem wir den entsprechenden Multiplikator zum reduzierten Modell hinzufügen. Die gleichen Überlegungen gelten für die Definition der Leistung innerhalb des Lumped Port, da die Umrechnung in Form von V0 = \sqrt {2 \cdot P0 \cdot Z0} automatisch erfolgt.

Auswertung der Ergebnisse

Wenn wir alle diese Ergebnisse mit der vollständigen Geometrie vergleichen, kann es zu einem deutlichen Unterschied kommen. Dies kann zunächst verwirrend erscheinen, ist jedoch lediglich ein Hinweis darauf, dass eine Netzverfeinerungsstudie erforderlich ist. Mit anderen Worten: Für das reduzierte Modell sehen wir eine bessere Auflösung des Lumped Ports, was wichtig ist, da dadurch die Genauigkeit der berechneten Lumped-Parameter erhöht wird. Das Gleiche kann für andere kleine Geometriedetails gelten. Eine Möglichkeit, hier eine ausreichende Verfeinerung zu erzielen, besteht darin, die Option Refine conductive edges für das Netz sowohl in der reduzierten als auch in der Referenzversion auszuwählen. Der nächste Screenshot zeigt die Endergebnisse. Mit etwas Zeit für weitere Untersuchungen können Sie eine noch bessere Korrelation zwischen dem reduzierten und dem vollständigen Modell erzielen.

Eine andere Art, eine optimale Netzverteilung zu erzielen, ist eine Frequency Domain, RF Adaptive Mesh Studie. Details dazu finden Sie in dem entsprechenden Tutorial-Modell.

Das Modell Microstrip Patch Antenna mit der Bedingung Symmetry Plane. In Plot 1 (oben) sehen Sie die optimierte Netzkonfiguration, die mit dem Feature Refine conductive edges erzeugt wurde, zusammen mit dem E-Feld-Muster in logarithmischer Skala. Unterhalb von Plot 1 zeigen die Tabelle der ausgewählten Lumped-Parameter (links) und die geplotteten S11-Resonanzkurven (rechts) eine starke Korrelation zwischen dem vollständigen und dem reduzierten Modell.

Ein positiver Nebeneffekt der Symmetrie in diesem Fall ist eine höhere Genauigkeit. Doch wie wirkt sich dies auf die Berechnung aus? Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse zweier Testläufe, in denen die Leistung des vollständigen Modells mit dem reduzierten Modell hinsichtlich der Anzahl der Freiheitsgrade, des RAM-Verbrauchs und der Lösungszeit verglichen wurde. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Lösung des halbierten Modells 42 % weniger Zeit und 25 % weniger Speicher benötigt. Diese Zahlen sind hardwareabhängig, und bei ressourcenintensiveren Projekten lassen sich noch größere Leistungssteigerungen erzielen.

Leistungsvergleich auf Basis des modifizierten Mikrostreifen-Patchantennenmodells. Sowohl der RAM-Verbrauch als auch die Lösungszeit konnten um 25 % bzw. 42 % reduziert werden.

Ein rechteckiger Wellenleiter und Moden höherer Ordnung

Berechnungen, bei denen mehrere verschiedene Moden in einem System berücksichtigt werden müssen, erfordern ebenfalls besondere Sorgfalt bei der Implementierung von Symmetriebedingungen. Ein solches Projekt kann direkt eine Eigenwertberechnung beinhalten oder ein Frequenzbereichsmodell mit Anregung verschiedener Moden innerhalb eines Simulationsgebiets oder über eine Reihe von Portbedingungen sein.

Betrachten wir als Beispiel eine einfache Modenanalyse eines rechteckigen Wellenleiterquerschnitts und konzentrieren wir uns dabei auf den Effekt der vertikalen Symmetrie. Bei der ersten Untersuchung der für uns interessanten Moden stellen wir fest, dass von den ersten sechs Moden TE10, TE11 und TM11 hinsichtlich des vertikalen Schnitts der Symmetrie des perfekten magnetischen Leiters (PMC) folgen, während TE01, TE20 und TE21 die Symmetrie des perfekten elektrischen Leiters (PEC) aufweisen. Wenn wir jedoch einen Multimode-Wellenleiter mit TE10- und TE20-Moden betrachten, müssen wir die gesamte Geometrie beibehalten, da wir sonst eine der Moden verlieren und somit falsche Endergebnisse erhalten würden.

Eine bewährte Vorgehensweise für jedes komplexe Multimode-Projekt ist es, zunächst die relevanten Moden im System zu untersuchen, wie wir es hier getan haben. Für ein Wellenleitermodell ist die Durchführung der erweiterten Modenanalyse sinnvoll. Im Allgemeinen können einige logische Überlegungen oder eine Eigenfrequenzberechnung hilfreich sein.

TE10- (linkes Bild) und TE20-Moden (rechtes Bild) eines rechteckigen Wellenleiters. Im oberen Plot für beide Moden ist das tangentiale E-Feld mit roten Pfeilen und das H-Feld mit blauen Pfeilen markiert. Die mittleren Plots zeigen die Größen der E-Feld- und H-Feld-Verteilungen. Bei Ausnutzung der Symmetrie würde die TE10-Mode die PMC-Bedingung in Bezug auf den vertikalen Schnitt erfordern, während die TE20-Mode die PEC-Bedingung erfordern würde.

In bestimmten Fällen sollten zwei zusätzliche Änderungen berücksichtigt werden: Wenn wir einen Ansatz verwenden, bei dem eine Mode anhand ihrer fortlaufenden Nummer ausgewählt wird, muss dieser Ansatz entsprechend aktualisiert werden, wenn wir das Modell durch Symmetrie reduzieren. Wenn wir eine Port-Bedingung haben, sollten wir daran denken, die Eingangsleistung des Ports zu skalieren und sie proportional zu ihrer Oberflächenverringerung zu reduzieren.

Abschließende Gedanken zu Symmetrieebenen

In diesem Blog-Beitrag haben wir gezeigt, wie Sie Symmetriebedingungen im Interface Electromagnetic Waves, Frequency Domain anhand einiger einfacher Regeln und unter Verwendung der Bedingung Symmetry Plane nutzen können. Bei korrekter Anwendung ermöglicht dieser Ansatz eine bessere Rechenleistung für verschiedene Arten von Streuungs-, Abstrahlungs- und Wellenleiterproblemen – mit noch genaueren Ergebnissen. Obwohl sie fast vollständig automatisiert sind, erfordern einige Vorgänge wie Volumen- oder Randintegrationsoperationen möglicherweise eine zusätzliche Skalierung, wenn Sie die Ergebnisse visualisieren und auswerten. Bei der Implementierung eines reduzierten Modells empfehlen wir Ihnen, zunächst ein vereinfachtes Vorversuchsmodell zu erstellen und es mit der vollständigen Konfiguration zu vergleichen, um die Konsistenz sicherzustellen.

Probieren Sie es selbst aus

Versuchen Sie, Symmetrien in den Tutorial-Modellen zu implementieren, die wir in diesem Beitrag besprochen haben, und sehen Sie sich alle zusätzlichen Einstellungen und verschiedenen Optionen zur Visualisierung und Auswertung Ihrer Ergebnisse an.