Optimierung von Wärmetauschern

Bei der Entwicklung von Wärmetauschern ist es unerlässlich, die Wärmetransportrate, den hydraulischen Widerstand und den Wirkungsgrad zu berücksichtigen. Bei einigen Anwendungen muss außerdem die strukturelle Integrität berücksichtigt werden. Der Zeit- und Ressourcenaufwand für die Untersuchung dieser Komponenten ist allerdings vergeblich, wenn es keine kostengünstige Möglichkeit gibt, das Endprodukt herzustellen. Die Berücksichtigung der Design- und Herstellungskosten während des gesamten Designprozesses macht die Entwicklung von Wärmetauschern zu einer anspruchsvollen Aufgabe. Hier werden wir die Möglichkeit untersuchen, solche Designherausforderungen durch Form- und Topologieoptimierung zu bewältigen.

Formoptimierung

Die Formoptimierung funktioniert unabhängig von den physikalischen Gegebenheiten auf die gleiche Weise, was ihre Anwendung im Vergleich zur Topologieoptimierung vereinfacht. Es ist jedoch beachtenswert, dass sowohl die Form- als auch die Topologieoptimierung viele Designvariablen beinhaltet, sodass in jedem Fall eine gradientenbasierte Optimierung erforderlich ist. Die gradientenbasierte Optimierung ist bei vielen Designvariablen deutlich schneller als gradientenfreie Methoden, da sie Sensitivitätsinformationen effizient nutzt, um jede Iteration zu steuern, anstatt sich auf kostspielige Stichproben oder Brute-Force-Suchen zu verlassen. Die hier gezeigten Beispiele basieren auf dem Optimierungsalgorithmus Method of Moving Asymptotes (MMA) und der automatischen Gradientenberechnung.

Zunächst konzentrieren wir uns auf die Formoptimierung eines Plattenwärmetauschers und anschließend betrachten wir die Dimensionierung von Rohren in einem Rohrbündelwärmetauscher.

Leser, die an einer allgemeineren Einführung in die Formoptimierung interessiert sind, finden weitere Informationen in unserem Blog-Beitrag “Shape Optimization in Electromagnetics: Part 1”.

Der hydraulische Widerstand eines Wärmetauschers kann durch eine Zwangsbedingung bezüglich des Druckabfalls für eine bestimmte Durchflussrate begrenzt werden. Allerdings tendiert die Optimierung dazu, ein Design zu erstellen, das dem maximal zulässigen Wert für den Druckabfall entspricht, sodass in der Praxis die angewandte Pumpleistung und der hydraulische Widerstand festgelegt sind. Alternativ kann man einen druckgesteuerten Durchfluss vorgeben und die Optimierung die Pumpleistung und den hydraulischen Widerstand auswählen lassen. Diese Methode ist rechnerisch kostengünstiger, darum werden wir uns auf diese Option konzentrieren.

Zunächst betrachten wir einen Plattenwärmetauscher im laminaren Strömungsbereich, bei dem die Wärmetransportrate durch eine Veränderung der Plattenform maximiert wird, wie in der folgenden Animation dargestellt. Die Optimierung verbessert den Wärmeaustausch um 30 % gegenüber dem ursprünglichen Design mit einer flachen Platte.

Der optimierte Plattenwärmetauscher leitet die Strömung um die Ecken des Volumens herum, wie die durch die Temperatur farblich gekennzeichneten Stromlinien veranschaulichen. Die Verformung in der grauen Oberflächendarstellung des Designs ist um den Faktor zwei übertrieben dargestellt.

Betrachten wir nun das zweite Beispiel, einen Rohrbündelwärmetauscher im turbulenten Strömungsbereich. Auch hier maximieren wir den Wärmetransport, jedoch lassen wir diesmal zu, dass sich die Größe und Position der Rohre ändern. In diesem Fall kann die Optimierung die Wärmeübertragungsrate nur um 5 % verbessern, was möglicherweise auf die im Vergleich zum vorherigen Beispiel geringere Gestaltungsfreiheit zurückzuführen ist.

Der optimierte Rohrbündelwärmetauscher, wobei die Rohre entsprechend ihrem Durchmesser farblich gekennzeichnet sind. Die kleineren Rohre in der Mitte verringern die Schwankungen der Durchflussrate zwischen den einzelnen Rohren.

Topologieoptimierung

Bei der Topologieoptimierung mit der Dichtemethode wird jedem Berechnungselement eine Designvariable zugewiesen. In der Strukturmechanik entspricht Null einem Hohlraum, während Eins einem festen Körper entspricht.

Leser, die an einer ausführlicheren Einführung in die Topologieoptimierung interessiert sind, finden diese in unserem Blog-Beitrag “Performing Topology Optimization with the Density Method”.

Bei der Topologieoptimierung von Wärmetauschern besteht die Aufgabe darin, zu bestimmen, welcher Bereich zu welchem Fluid gehören soll. In der Regel entspricht eine Designvariable gleich Null einem Fluid, während Eins dem anderen Fluid entspricht (Ref. 1). Diese Strategie verhindert die Vermischung der beiden Fluide, solange es im endgültigen Design keine Gradienten gibt, d. h. die Designvariablen sind gleich Null oder Eins, jedoch keine Zwischenwerte. Die Strategie kann erweitert werden, um das feste Gebiet zwischen den Fluiden zu berücksichtigen, aber darauf werden wir hier nicht näher eingehen. Die No-Slip-Bedingung am Rand wird mit einem Darcy-Strafterm durchgesetzt, einer Strategie, die anderen Anwendungen der Fluid-Topologieoptimierung ähnelt:

wobei \mathbf{u}_\mathrm{cold} und \mathbf{u}_\mathrm{hot}die Strömungsgeschwindigkeiten für das heiße und das kalte Gebiet sind, das mithilfe separater partieller Differentialgleichungen gelöst wird. \alpha_\mathrm{max} ist die maximale Dämpfung, die den Durchfluss dämpft, sodass nicht beide Durchflussgeschwindigkeiten gleichzeitig groß sein können. q bestimmt die Dämpfung für Zwischenwerte des Designvariablenfeldes \theta. Niedrige Werte werden in der Regel mit gradierten Designs in Verbindung gebracht, die optimal sind, während höhere Werte zu deutlicheren, klar voneinander getrennten Bereichen führen, was wiederum zu physikalisch realisierbaren Designs führt.

Die Energieerhaltung wird mithilfe einer Konvektions-Diffusions-Gleichung für die Temperatur behandelt, wobei der Konvektionsterm vom Gesamtgeschwindigkeitsfeld abhängt, das durch die Summe \mathbf{u}_\text{heiß} + \mathbf{u}_\text{kalt} gegeben ist. Obwohl diese Summe nicht explizit von den Designvariablen abhängt, dominiert in der Praxis jedes Geschwindigkeitsfeld in seinem jeweiligen Fluidbereich, sodass die Strömungsgeschwindigkeiten nur in der Übergangszone zwischen den Fluiden vergleichbar sind.

Wärmetauscher arbeiten in der Regel im turbulenten Bereich, jedoch beschränken sich die hier gezeigten Ergebnisse der Topologieoptimierung auf den laminaren Strömungsbereich, da Turbulenzmodelle die Auflösung von Grenzschichten erfordern, was für die bei der Topologieoptimierung verwendeten gleichmäßigen Netze äußerst aufwendig ist.

Große Kanäle bieten einen geringen hydraulischen Widerstand, während kleine Kanäle einen guten Wärmeaustausch ermöglichen. Die optimale Topologie eines Wärmetauschers besteht daher voraussichtlich aus miteinander verflochtenen Rohren, die sich in einem kleinen Bereich, in dem der eigentliche Wärmeaustausch stattfindet, in dünne Rohre verzweigen. Dies ist jedoch in zwei Dimensionen nicht möglich, da die Mischungsbeschränkung die Topologie effektiv festlegt.

Durch die Maximierung des Wärmeaustauschs zwischen zwei Fluiden unter Verwendung der Topologieoptimierung in zwei Dimensionen werden zwei verdrehte und parallele Rohre erzeugt.

Die Durchführung einer Topologieoptimierung in 3D ist rechenintensiv. Daher wird in diesem abschließenden Beispielmodell eine Spiegelsymmetrie angewendet, um das Gebiet um den Faktor zwei zu reduzieren. Darüber hinaus wird eine Rotationssymmetrie auf die Strömung angewendet, sodass nur die Strömung eines der Fluide berechnet werden muss. Schließlich berücksichtigt das Ziel sowohl die Wärmetransportrate als auch die hydraulische Dissipation. Beide sollten maximiert werden, da die Maximierung der hydraulischen Dissipation für eine druckgetriebene Strömung den hydraulischen Widerstand minimiert. Die Ziele können mit einer Maximin-Formulierung kombiniert werden, was jedoch rechenintensiv ist, sodass stattdessen eine p-Norm verwendet wird:

wobei \kappa ein Gewichtungsfaktor ist, der die relative Bedeutung der Ziele steuert, und P die Genauigkeit der Annäherung steuert. Die hier gezeigten Ergebnisse berücksichtigen nicht die Effizienz, da dies diskrete Designs verhindert. Sie können diese jedoch zu Beginn verwenden, um das Design in Richtung von Minima mit besserer Effizienz zu lenken.

Das Designvariablenfeld ist animiert, um zu veranschaulichen, wie das optimale Design mit steigendem q diskreter wird.

Das optimierte Ergebnis wird geglättet, sodass das Design mit einer expliziten Geometriedarstellung überprüft werden kann. Dies ist in der folgenden Animation zu sehen. Die Kamera ist feststehend, aber das Design ist etwas transparent, sodass man das Innere der Struktur sehen kann. Alternativ können Sie die interaktive Modelldatei unten erkunden, in der das Design feststehend ist und die Kamera manipuliert werden kann. Es wird nur die Hälfte des Designs angezeigt, da dies eine bessere Ansicht der inneren Feinheiten des Designs ermöglicht.

Der optimierte Wärmetauscher besteht aus zwei Gebieten, die ineinander verzweigt sind, um eine starke thermische Kopplung in kleinen Rohren zu ermöglichen, ohne übermäßigen hydraulischen Widerstand zu verursachen.

Ein Überblick über die Optimierungsfunktionalität

Dieser Blog-Beitrag konzentriert sich auf Wärmetauscher mit stationärem Durchfluss, jedoch ist die zugrunde liegende Funktionalität flexibel, da auch Probleme mit anderen physikalischen Phänomenen mithilfe der gradientenbasierten Optimierung gelöst werden können. Es ist sogar möglich, verschiedene physikalische Phänomene zu kombinieren und dennoch den Gradienten für benutzerdefinierte Ziele und Einschränkungen automatisch berechnen zu lassen. Die Form- und Topologieoptimierungs-Interfaces können zum Einrichten der Designvariablen verwendet werden, und Sonden vereinfachen die Einrichtung von Nebenbedingungen und Zielvorgaben. Da Nebenbedingungen und Zielvorgaben jedoch sehr anwendungsspezifisch sind, kann dieser Teil des Modellierungsprozesses einige Experimente erfordern. Schließlich ist es möglich, eine gradientenbasierte Optimierung unter Berücksichtigung von Eigenfrequenzen oder transienten Problemen durchzuführen.

Beispiele zur Eigenfrequenzoptimierung finden Sie in unserem Blog-Beitrag “Maximierung von Eigenfrequenzen mit Form- und Topologieoptimierung”.

Webinar zur Optimierung von Wärmemanagementsystemen

Um mehr darüber zu erfahren, wie Optimierung zur automatischen Generierung leistungsstarker Designs für Wärmetauscher und Strömungssysteme eingesetzt werden kann, sehen Sie sich unser Webinar über die Optimierung von Wärmemanagementsystemen an.

Referenz

1. P. Papazoglou, Topology Optimization of Heat Exchangers, Masterarbeit, Technische Universität Delft, 2015.