Die Gastblogger Enrico Di Lucente, Postdoktorand an der Columbia University, und Michele Simoncelli, Assistenzprofessor an der Columbia University, erläutern, wie sie den Physics Builder in COMSOL Multiphysics® genutzt haben, um ein benutzerdefiniertes Interface für die Phononenhydrodynamik zu erstellen, mit dem der nichtdiffusive Wärmetransport in realistischen Geometrien untersucht werden kann.
In dielektrischen Materialien mit extrem hoher Wärmeleitfähigkeit kann Wärme die Diffusion außer Kraft setzen und sich fluidenartig verhalten, indem sie Wirbel bildet, Temperaturwellen erzeugt und sogar lokal entgegen dem Temperaturgradienten zurückströmt. In diesem Blog-Beitrag stellen wir ein von uns für die Software COMSOL Multiphysics® entwickeltes benutzerdefiniertes Physik-Interface zur Phononenhydrodynamik vor und zeigen, wie sich mithilfe der Kontinuumsmodellierung viskose Wärmetransportphänomene erfassen lassen, die über das Fourier’sche Gesetz hinausgehen.
Warum Wärme jenseits des Fourier-Gesetzes modellieren?
Das Fourier-Gesetz gilt seit langem als Standardmodell zur Beschreibung der Wärmeleitung, da es den Wärmetransport in gängigen Materialien und Bauelementen bei Raumtemperatur sowie im Millimeterbereich oder darüber hinaus erfolgreich abbildet. Jüngste experimentelle und theoretische Untersuchungen haben jedoch gezeigt, dass das Fourier-Modell bei mikroskaligen Bauelementen aus hochreinen Materialien mit hoher Wärmeleitfähigkeit wie Diamant, Graphit und hexagonalem Bornitrid versagen kann.
In diesen Systemen unterliegen Phononen – die primären Wärmeträger – innerhalb bestimmter Temperaturbereiche, die von kryogenen Temperaturen (~70 K) bis nahe an die Raumtemperatur reichen können, häufigen impulserhaltenden Stößen. Dieser Bereich wird als Phononenhydrodynamik bezeichnet. Infolgedessen verläuft der Wärmetransport kollektiv und als Fluid, was zu Phänomenen wie Temperaturwellen („Second Sound“), einem Poiseuille-ähnlichen Wärmefluss (d. h. schneller in der Mitte eines Kanals und langsamer an den Rändern), thermischem Rückfluss und Wärmewirbeln führt.
Um diese Effekte zu erfassen, ist ein Modell erforderlich, das über die Standard-Fourier-Diffusion hinausgeht und gleichzeitig praktisch für realistische Geometrien einsetzbar bleibt. Genau darin liegt die Motivation für die viskosen Wärmegleichungen (viscous heat equations, VHE) (Ref. 1 und 2) und deren Implementierung in COMSOL Multiphysics®.
Ursprung der viskosen Wärmegleichungen
Auf einer tieferen Ebene gehen die VHE auf eine systematische Grobkörnigkeit der linearisierten Boltzmann-Transportgleichung für Phononen (linearized phonon Boltzmann transport equation, LBTE) zurück, bei der die komplexe mikroskopische Phononendynamik auf eine kleine Menge lokaler Gleichgewichtsfelder projiziert wird: die Temperatur T(r,t) und eine Driftgeschwindigkeit u(r,t). Diese Driftgeschwindigkeit entsteht, weil im hydrodynamischen Bereich impulserhaltende (normale) Phononenstöße gegenüber impulsrelaxierenden (Umklapp-)Prozessen dominieren, wodurch Phononen kollektiv den Kristallimpuls transportieren können. Infolgedessen wird der Wärmetransport nicht mehr ausschließlich durch Temperaturgradienten bestimmt, sondern auch durch die Entwicklung dieses Impulsfeldes. Die VHE bestehen daher aus zwei gekoppelten Gleichungen:
- Eine Energiebilanzgleichung fürT(r,t)
- Eine Impulsbilanzgleichung für u(r,t), analog zu den linearisierten Navier-Stokes-Gleichungen
Entscheidend ist, dass sich aus den zugrunde liegenden LBTE-Symmetrien zwei Transportkoeffizienten ergeben: die Wärmeleitfähigkeit (verbunden mit dem Teil der Phononenverteilung mit ungerader Parität) und die thermische Viskosität (verbunden mit dem Teil mit gerader Parität). Während erstere den diffusiven Wärmefluss beschreibt, berücksichtigt letztere die Impulsdiffusion und viskose Spannungen im Phononen-Fluid und ermöglicht so Phänomene wie Wärmewirbel, Rückfluss und nichtlokalen Transport. Dieser Rahmen bildet auf natürliche Weise eine Überleitung zwischen verschiedenen Regimen – er reduziert sich auf das Fourier-Gesetz, wenn der Impuls stark dissipiert wird, und liefert als Grenzfälle zuvor vorgeschlagene hydrodynamische Modelle wie die Guyer-Krumhansl-Gleichung und die Dual-Phase-Lag-Gleichungen, während er gleichzeitig für realistische Materialien mit komplexen Phononendispersionen uneingeschränkt anwendbar bleibt.
Von der mikroskopischen Theorie zum Kontinuumsmodell
Auf mikroskopischer Ebene wird der Phononentransport durch die Boltzmann-Transportgleichung (BTE) beschrieben. Die BTE liefert zwar zuverlässige Vorhersagen, ihre Lösung ist jedoch bei komplexen Geometrien äußerst rechenintensiv und eignet sich daher nur bedingt für die Modellierung auf Bauelementebene.
Die viskosen Wärmegleichungen bieten eine mesoskopische Alternative. Sie erweitern das Fourier-Gesetz durch die Einführung eines zusätzlichen Feldes: der Phononendriftgeschwindigkeit. In diesem Sinne stellen sie das Phononenanalogon der linearen Navier-Stokes-Gleichungen für klassische laminare Fluide dar, werden jedoch auf Quantenphononenfluide angewendet. In diesem Rahmen ist die Temperaturentwicklung an die Impulserhaltungsgleichungen für Phononen gekoppelt, wodurch das Modell auf natürliche Weise zwischen diffusiven und hydrodynamischen Regimen interpolieren kann.
Ein wesentliches Merkmal dieses Ansatzes besteht darin, dass alle Materialparameter – wie Wärmeleitfähigkeit, Viskosität und Relaxationsraten – anhand einer einzigen Lösung der linearisierten BTE mittels First-Principles-Berechnungen ermittelt werden. Diese Parameter werden anschließend in das Kontinuumsmodell integriert, was effiziente Simulationen in beliebigen Geometrien ermöglicht, ohne die physikalische Genauigkeit zu beeinträchtigen, und dabei die volle quantenmechanische und ab initio Genauigkeit beibehält.
Implementierung der viskosen Wärmegleichungen der Phononenhydrodynamik
Um dieses Framework zugänglich zu machen, haben wir mithilfe des Physics Builders in der Software COMSOL Multiphysics® ein maßgeschneidertes Physik-Interface entwickelt. Nach der Installation erscheint das Interface unter dem Namen Viscous Heat Equations (VHE).
Verfügbare Features nach der Implementierung
- Eine gekoppelte Temperatur-Geschwindigkeits-Formulierung des Wärmetransports
- Steady-State- und zeitabhängige Simulationen
- Auf den hydrodynamischen Wärmefluss zugeschnittene Randbedingungen
- Kompatibilität mit komplexen Geometrien und mesoskopischen Bauelementen
Installation des Interfaces
Die Installation erfolgt gemäß dem Standard-Workflow des Physics Builder:
- Aktivieren des Physics Builder in den COMSOL-Einstellungen
- Importieren der bereitgestellten Builder-Datei
- Hinzufügen des Interfaces Viscous Heat Equations (VHE) aus My Physics Interfaces
Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Installation dieses Interfaces sehen Sie, wenn Sie den folgenden Abschnitt aufklappen.
Abschnitt ein- oder ausblenden
Wenn die Schaltfläche vorhanden ist, fahren Sie mit Schritt 3 fort; wenn nicht, gehen Sie zu Schritt 2.
Schritt 2. Wählen Sie im Menü File die Option Preferences. Wählen Sie im Fenster Preferences in der Liste auf der linken Seite Physics Builder aus und aktivieren Sie anschließend das Kontrollkästchen Enable Physics Builder:
Klicken Sie OK und starten Sie COMSOL Multiphysics® neu, um die Änderung anzuwenden.
Schritt 3. Wenn die Schaltfläche Physics Builder zu sehen ist und das Interface zur Verfügung steht, öffnen Sie ein vorhandenes Modell oder erstellen Sie ein neues, leeres Modell. Wählen Sie Physics Builder Manager aus dem Menü Windows:
Im Physics Builder Manager, unter Archive Browser, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf Development Files und wählen Add Builder File:
Importieren Sie anschließend die Modelldatei vhe.mphphb.
Schritt 4. Öffnen Sie das Fenster Add Physics und gehen Sie zum Abschnitt My physics interfaces, in dem das Interface als Viscous Heat Equations (VHE) aufgelistet ist:
Wählen Sie Viscous Heat Equations (VHE) aus, um es zu Ihrem Modell hinzuzufügen.
Maßgebliche Gleichungen und Randbedingungen
Das Interface implementiert die viskosen Wärmegleichungen direkt als gekoppeltes System:
- Eine Energieerhaltungsgleichung für die Temperatur
- Drei Impulsbilanzgleichungen für die Phononendriftgeschwindigkeitskomponenten
Aus Sicht des Anwenders verhalten sich diese Gleichungen wie jedes andere COMSOL-Physik-Interface und lassen sich mit den Standardwerkzeugen zum Vernetzen, den Lösern und den Nachbearbeitungswerkzeugen kombinieren.
Auf die Wärmeflussphysik zugeschnittene Randbedingungen
Es stehen mehrere Randbedingungen zur Verfügung, um verschiedene physikalische Regime zu modellieren:
- Feste Temperaturgrenzen für ideale Wärmespeicher
- Flussgrenzen mit Temperaturgradienten, die ausschließlich die diffusive Komponente einschränken
- Geschwindigkeitsbeschränkungen zur Steuerung des Phononenimpulsflusses
- Slip-Bedingungen für Ränder, die die spiegelnde Phononenreflexion darstellen
- No-Slip-Bedingungen für Ränder, die die vollständig diffusive Phononenstreuung modellieren
Mit diesen Optionen können Anwender die Simulation stufenlos von rein diffusivem bis hin zu stark hydrodynamischem Verhalten anpassen.
Die Einrichtung der Temperaturrandbedingungen sowie der Slip- und No-Slip-Randbedingungen erfolgt im Interface Viscous Heat Equations (VHE) wie folgt:
Beispiel 1: Fouriersche Diffusion vs. Hydrodynamischer Wärmefluss
Um die qualitativen Unterschiede zwischen diffusivem und viskosem Wärmetransport zu veranschaulichen, betrachten wir eine einfache Geometrie aus zwei Rechtecken. Über das Hauptgebiet wird ein vertikaler Temperaturgradient angelegt, während ein kleinerer Seitenbereich lateral verbunden ist.
Nach dem Fourier-Gesetz fließt die Wärme direkt vom Warmen zum Kalten, wodurch glatte Isothermen entstehen. Werden stattdessen die viskosen Wärmeleitungsgleichungen verwendet, ergibt sich ein ganz anderes Bild: Die Wärme zirkuliert im kleineren Gebiet, bildet wirbelartige Muster und erzeugt einen geringen, aber endlichen thermischen Rückfluss. Nachfolgend zeigen wir den Vergleich der stationären Temperaturprofile, die mit dem Fourier-Gesetz (links) und den viskosen Wärmeleitungsgleichungen (rechts) ermittelt wurden und die hydrodynamische Zirkulation sowie den thermischen Rückfluss verdeutlichen.
Beispiel 2: Thermische Wirbel im inkompressiblen Grenzfall
Der hydrodynamische Charakter des Wärmetransports wird im Grenzfall der inkompressiblen Strömung des VHE noch deutlicher. In diesem Bereich geht die Divergenz der Phononendriftgeschwindigkeit gegen Null, und der Wärmetransport wird eher durch den Impulsfluss als durch Diffusion bestimmt.
Simulationen zeigen die spontane Bildung von thermischen Wirbeln im stationären Zustand (Ref. 3) – ein Verhalten, das in reinen Diffusionsmodellen gänzlich fehlt.
Im Folgenden zeigen wir die Temperaturprofile im stationären Zustand im diffusiven Bereich (oben) und im inkompressiblen hydrodynamischen Grenzfall (unten), wobei besonders die Wirbelbildung und der Wärmerückfluss hervorzuheben sind (Ref. 3).
Zeitabhängige Simulationen: Hydrodynamische Wärme in Bewegung
Das Interface unterstützt zudem vollständig zeitabhängige Simulationen. Durch die Anwendung transienter Randbedingungen – wie beispielsweise oszillierende Driftgeschwindigkeiten oder wechselnde Temperaturgradienten – lassen sich die Entstehung, Bewegung und Umkehrung von Wärmewirbeln im Zeitverlauf beobachten.
Diese Simulationen zeigen, dass sich Wärme ähnlich wie ein angetriebenes viskoses Fluid verhält und dynamisch auf äußere Einwirkungen reagiert.
Warum das wichtig ist
Das Interface bildet eine praktische Brücke zwischen der mikroskopischen Transporttheorie und der Kontinuumsmodellierung. Es ermöglicht die Untersuchung des nichtdiffusiven Wärmetransports in realistischen Geometrien, die mit rein mikroskopischen Methoden nicht zugänglich sind.
Indem das Interface den hydrodynamischen Wärmetransport in COMSOL Multiphysics® zugänglich macht, eröffnet es neue Möglichkeiten für die Untersuchung thermischer Phänomene in Materialien und Bauelementen der nächsten Generation.
Um mehr über das Interface zu erfahren und es herunterzuladen, besuchen Sie den entsprechenden Eintrag im Application Exchange: Phonon Hydrodynamics Interface.
Über die Gastautoren
Enrico Di Lucente ist Postdoktorand am Institut für Angewandte Physik und Angewandte Mathematik der Columbia University in New York City und gleichzeitig im Fachbereich Materialwissenschaft und Werkstofftechnik tätig. Er trat im Dezember 2025 der Forschungsgruppe von Prof. Michele Simoncelli bei, unmittelbar nach Abschluss seiner Promotion in der Gruppe Theory and Simulation of Materials (THEOS) an der EPFL unter der Betreuung von Prof. Nicola Marzari. Er verteidigte seine Doktorarbeit mit dem Titel Theoretical and Computational Advances in Quantum and Hydrodynamic Thermal Transport.
Seine Forschung konzentriert sich auf den Wärmetransport jenseits des Fourier-Gesetzes, die Phononenhydrodynamik sowie die First-Principles-Modellierung des Wärmetransports und anderer fundamentaler und gekoppelter Anregungen in der kondensierten Materie, die von Magnonen bis hin zu Licht-Materie-Wechselwirkungen reichen. Seine Arbeit schlägt eine Brücke zwischen mikroskopischer Transporttheorie und Kontinuumsmodellierung mit dem Ziel, vorhersagbare Simulationen des nichtdiffusiven Wärmetransports in realistischen Materialien und Bauelementgeometrien zu ermöglichen. Zudem zielt sie darauf ab, experimentelle Ansätze zur Entwicklung innovativer Bauelemente zu lenken, mit denen sich nicht standardmäßige Quantentransportphänomene nachweisen lassen – mit potenziellen Auswirkungen auf aufstrebende Technologien wie Elektronik, Energiespeicherung, Fusionsabschirmung, Spintronik und Hyperschalltechnik. Zu seinen weiteren Forschungsinteressen zählen die Festkörperphysik, die computergestützte Physik, der Quantentransport und der Magnetismus.
Michele Simoncelli ist seit Januar 2025 Assistenzprofessor am Institut für Angewandte Physik und Angewandte Mathematik der Columbia University. Seine Forschungsgruppe entwickelt das theoretische und numerische Framework , um Quantentransportphänomene in Materialien – darunter beispielsweise Ladung, Wärme, Licht und Spin – sowie deren mögliche Synergien oder Konflikte und damit verbundene makroskopische Signaturen zu verstehen, quantitativ zu beschreiben und zu steuern. Bevor er an die Columbia University kam, war er Inhaber des Crone Research Fellowship am Fachbereich Physik der University of Cambridge (2021–2024). Dort beschäftigte er sich mit grundlegender Quantentheorie und numerischen Methoden zur Beschreibung der Entstehung hybrider Kristall-Glas-Eigenschaften in Materialien mit kontrolliertem Grad an atomistischer Unordnung, beispielsweise in der chemischen Zusammensetzung, der Topologie des Bindungsnetzwerks oder der Geometrie. Er promovierte 2021 an der EPFL (Schweiz) unter der Betreuung von Nicola Marzari und stellte in seiner Dissertation neuartige mikroskopische und mesoskopische Theorien zum Wärmetransport in Festkörpern vor: die Wigner-Transportgleichung, eine Verallgemeinerung der semiklassischen Peierls-Boltzmann-Gleichung, sowie die viskosen Wärmegleichungen, eine Verallgemeinerung des Fourier-Gesetzes.
Danksagung
Die Entwicklung des maßgeschneiderten Physik-Interfaces und die zugrunde liegenden theoretischen Arbeiten profitierten von Diskussionen und der Zusammenarbeit mit Zhiyi Wang (Université Grenoble Alpes; THEOS, EPFL) und Prof. Nicola Marzari (THEOS, EPFL; Theory of Condensed Matter, Cavendish Laboratory, Universität Cambridge).
Referenzen
- M. Simoncelli, N. Marzari, and A. Cepellotti, Generalization of Fourier’s law into viscous heat equations, Physical Review X 10, 011019 (2020); https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.10.011019
- Dragašević, B. Rajkov, and M. Simoncelli, Viscous heat backflow and temperature resonances in extreme thermal conductors. Physical Review Letters 136, 186302 (2026); https://doi.org/10.1103/nbbn-56hr
- Di Lucente, F. Libbi, and N. Marzari, Vortices and backflow in hydrodynamic heat transport, Physical Review Letters 136(5), 056307 (2026); https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/g9dx-hjyn
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