Modellierung der durch akustische Oberflächenwellen induzierten Strömung in einem Tropfen

Akustische Oberflächenwellen können eine Strömung innerhalb eines Tropfens erzeugen, wodurch eine berührungslose Durchmischung ermöglicht wird – eine nützliche Anwendung im Bereich der Mikrofluidik. Aufgrund des multiphysikalischen Charakters der Tropfenströmung werden in numerischen Untersuchungen häufig mehrere Annahmen getroffen, um nur einen Teil des Phänomens zu erfassen. In diesem Blog-Beitrag verschaffen wir uns einen umfassenden Überblick, indem wir das Phänomen – vom angelegten elektrischen Potential bis hin zur Erzeugung der Strömung – mithilfe der Software COMSOL Multiphysics^® modellieren.

Induzieren einer Strömung mit akustischen Oberflächenwellen

Wird an der Oberfläche eines piezoelektrischen Materials eine Wechselspannung angelegt, entsteht eine durch das elektrische Feld bestimmte Dehnung, und es breiten sich Wellen auf der Oberfläche aus. Diese Wellen werden als akustische Oberflächenwellen (AOW) bezeichnet und lassen sich danach unterscheiden, wie sich das Material relativ zur Ausbreitungsrichtung und zur Normalen verformt. Zu den zwei Arten von AOW zählen Rayleigh-Wellen und Love-Wellen. Dieser Blog-Beitrag konzentriert sich auf Rayleigh-Wellen, die eine Verformung der Oberfläche in Normalenrichtung bewirken. Zur Erzeugung der AOW auf dem Substrat wird üblicherweise eine Reihe kammartiger Anschlüsse, sogenannter interdigitaler Wandler (IDT), verwendet, um ein elektrisches Wechselpotential anzulegen. IDT können die AOW sowohl erzeugen als auch empfangen. Bei der Verwendung als Filter in elektrischen Bauteilen wird ein weiteres Set von Anschlüssen in den Weg der erzeugten AOW eingebracht. Die beiden Anschlüsse des IDT auf der Empfängerseite weisen je nach der am Substrat auftretenden Dehnung unterschiedliche elektrische Potentiale auf, wodurch Informationen über die Schwingung ermittelt werden können.

Anstatt den zweiten IDT als Empfänger auf der Oberfläche zu platzieren, werden wir einen Tropfen auf den Ausbreitungsweg setzen. Der Tropfen wird mit den AOW in Wechselwirkung treten und deren Energie absorbieren. Die AOW schwächen sich ab, während sie unter dem Tropfen hindurchlaufen, und werden aufgrund dieses Verhaltens als „leaky SAW“ (leaky surface acoustic waves) bezeichnet. Die Energie wird in Form von Volumenwellen an den Tropfen abgestrahlt, die unter einem Winkel einfallen, der als Rayleigh-Winkel bezeichnet wird. Im Tropfen werden die einfallenden Wellen an der freien Oberfläche des Tropfens reflektiert, verlieren dabei jedoch gleichzeitig Energie durch viskose Dissipation, was schließlich zu einer stationären zirkulierenden Strömungskomponente führt, die als akustische Strömung bezeichnet wird. Wir können allein durch Schwingungen eine stationäre Strömung induzieren. Dies spielt im Bereich der Mikrofluidik eine wichtige Rolle – wir können die Durchmischung im Inneren des Tropfens verbessern, ohne physikalisch etwas in das Fluid einbringen zu müssen, um es umzurühren; die Methode ist nicht-invasiv. Die resultierende Strömung kann je nach Energie der Wellen, den Abmessungen des Systems, den Materialeigenschaften des Tropfens und so weiter unterschiedliche Zirkulationsmuster im Inneren des Tropfens erzeugen.

Schematische Darstellung der durch AOW induzierten Strömung. Die AOW (gewellte blaue Linie) gehen vom IDT aus. Sobald sie den Tropfen erreichen, wird die Energie auf den Tropfen übertragen (durchgezogener gelber Pfeil), und schließlich kommt es zur Strömung (gestrichelter gelber Pfeil).

Wie wir bisher gesehen haben, sind bei der Tropfenströmung mehrere Physikbereiche beteiligt. Aufgrund ihrer Komplexität werden diese Einflussfaktoren häufig separat modelliert, indem der Prozess in mehrere Schritte unterteilt wird. Die Analyse des Schallfeldes in einem Tropfen (unter den aktuellen Bedingungen) erfordert beträchtlichen Arbeitsspeicherbedarf, während dies bei der Analyse der anderen Felder in der Regel nicht der Fall ist. Wir werden COMSOL Multiphysics^® verwenden, um diese Komplexität zu bewältigen und ein Modell zu erstellen, das den gesamten Prozess der Energieübertragung im System abdeckt. In diesem Modell hat der Tropfen einen Benetzungsdurchmesser von etwa 2 mm und einen Kontaktwinkel von 78° zur festen Oberfläche. Das AOW-Bauelement wird mit einer Frequenz von 20,37 MHz angeregt. Es wird angenommen, dass es sich bei dem Tropfen um ein Glycerin-Wasser-Gemisch handelt, und die Eigenschaften des Piezo-Kristalls werden dem Material Lithiumniobat aus der Material Library für piezoelektrische Materialien entnommen. Als Referenz entsprechen die Werte und der Versuchsaufbau denen, die in der Veröffentlichung „On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method“ (Ref. 1) verwendet wurden.

Aufbau des Strömungsmodells in der 2D-Konfiguration

Zunächst werden wir prüfen, wie das Modell in 2D aussieht. Wir wissen zwar, dass die Strömung aufgrund der halbkugelförmigen Gestalt eines Tropfens eine 3D-Struktur aufweist, doch ist es stets ein guter Ausgangspunkt, ein 2D-Modell zu erstellen, um zu überprüfen, ob die erforderlichen Einstellungen und physikalischen Modelle vollständig sind und ob das Phänomen, das wir modellieren möchten, unter der 2D-Annahme auftritt. Für die 2D-Simulation verwenden wir dieselbe Schnittebene wie in der oben gezeigten schematischen Darstellung. Zur Anregung der AOW nutzen wir die Interfaces Electrostatics, Solid Mechanics, Pressure Acoustics und Creeping Flow; zur Erfassung der Strömung wird das Multiphysik-Interface Acoustic Streaming Domain Coupling verwendet. Da sich die Zeitskalen zwischen der Schwingung und der Strömung erheblich unterscheiden, erfolgt die Simulation in zwei Schritten: einer Frequenzbereichsstudie und einer stationären Studie.

Bei der piezoelektrischen Analyse muss der Kristallschliff des piezoelektrischen Materials berücksichtigt werden. In diesem Modell wird Lithiumniobat (LiNbO₃) mit einem YX-Schliff von 128^° als Substrat verwendet; daher sollte die Drehung in den Materialeigenschaften berücksichtigt werden. Die Funktionen in COMSOL Multiphysics^® ermöglichen es uns, den Winkel des Kristallschliffs zu berücksichtigen, indem wir ein Koordinatensystem definieren – beispielsweise mithilfe des Features Rotated System – und das Koordinatensystem im Knoten Piezoelectric Material des Interfaces Solid Mechanics festlegen. Außerdem gibt es in der Application Gallery einen Eintrag, der die Koordinateneinstellungen erläutert: Euler-Winkel-Rotation bei der Modellierung akustischer Oberflächenwellen. Beachten Sie, wie sich die festgelegten Winkel im Modell der Application Gallery für ein 2D-Bauteil (XY-Sagittalebene) im Vergleich zu einem 3D-Bauteil (XZ-Sagittalebene) unterscheiden. Weiter unten werden wir ein 3D-Modell erstellen, bei dem die XZ-Ebene als Sagittalebene dient.

Einstellungen des Features Rotated System im 2D-Modell. Im 3D-Modell ist der Wert für β auf -38 [Grad] festgelegt.

Außerdem müssen wir sicherstellen, dass im Knoten Pressure Acoustics ein geeigneter Dämpfungsmechanismus berücksichtigt wird. In der aktuellen Konfiguration wird die Strömung im Inneren des Tropfens hauptsächlich durch die Eckart-Strömung angetrieben. Daher sollte die Volumendämpfung der Schallwelle modelliert werden, um diesen Effekt zu erfassen. Das Fluid model im Knoten Pressure Acoustics legt fest, welcher Dämpfungstyp bei den Schallwellen zum Tragen kommt. Hier wählen wir einfach Viscous. Würden wir Linear elastic (die Standardeinstellung) ausgewählt lassen, wäre in den Ergebnissen keine Strömung zu erkennen.

Ein letzter zu überprüfender Punkt sind die Einstellungen unter Values of variables not solved for im Schritt Stationary. Bei der Strömungsanalyse koppelt das Feature Acoustic Streaming Domain Coupling die Studien Frequency Domain und Stationary. Wenn die Kopplung in einer stationären Studie aktiviert ist, greift sie auf die in einer Frequenzbereichsstudie berechneten Variablen zurück, um die zur Strömung beitragenden Terme zu berechnen. Da wir mehrere Studienknoten verwenden, kann die Kopplung nicht erkennen, welche Lösung die gewünschten Frequenzbereichsdaten enthält; daher müssen wir dies in den Einstellungen des Studienschritts festlegen.

Führen wir nun nacheinander die Studien Frequency Domain und Stationary durch. Das Ergebnis sollte Verteilungen wie in den folgenden Abbildungen zeigen. Der IDT befindet sich links von dem Tropfen, außerhalb des Bildausschnitts. Auf dem piezoelektrischen Material entstehen AOW, die sich nach rechts ausbreiten. Die Ausbreitungsrichtung der Wellen lässt sich mithilfe des Features Animation in Verbindung mit der Dynamic data extension deutlicher nachvollziehen. Die Oberflächenwellen werden fast unsichtbar, nachdem sie mehr als die Hälfte der Kontaktfläche durchlaufen haben. Im Gegenzug breiten sich die Volumenwellen im Tropfen in Richtung oben rechts aus, was zu einem komplexen Druckmuster führt. Wie zu erwarten war, lässt sich das zirkulierende Strömungsfeld auch anhand des stationären Ergebnisses bestätigen. Es weist einen großen Wirbel über das gesamte Gebiet auf; dies ist jedoch möglicherweise 2D-spezifisch. In einer 2D-Konfiguration können wir keinen Wirbel simulieren, dessen Achse nicht senkrecht zur Bildschirmebene steht. Es ist jedoch ein guter Anfang, dass wir ein AOW-Modell erstellt haben, das eine Strömung induziert, die unseren Erwartungen entspricht. Kommen wir nun zum 3D-Modell.

Im 2D-Modell berechnete Ergebnisse. Spannung im Substrat und Schalldruck im Tropfen (links); Verschiebung des Substrats und Geschwindigkeitsverteilung der Strömung im Tropfen (rechts).

Arbeitspeichernutzung in der 3D-Konfiguration

Trotz des Unterschieds in der Dimension – von 2D zu 3D – ändern sich die Prinzipien der Simulation nicht. Wir verwenden dieselben Interfaces mit denselben Multiphysik-Kopplungen. Ein großer Unterschied zum 2D-Modell ist jedoch der Bedarf an Rechenressourcen. Die geometrische Ausdehnung des 3D-Modells ist wesentlich größer als die Wellenlänge, sodass mit hoher Wahrscheinlichkeit Speicherprobleme auftreten werden. Dies würde nicht nur zu einer längeren Rechenzeit führen, sondern wir müssten auch den Speicherbedarf reduzieren, damit das Modell in den Arbeitsspeicher des Computers passt.

Zunächst können wir die Geometrie so weit vereinfachen, dass das Ergebnis dadurch nicht wesentlich beeinträchtigt wird. Im 3D-Modell wird der IDT als mehrere Sets einfacher rechteckiger 2D-Anschlüsse modelliert, die parallel zueinander angeordnet sind. Zudem werden der Tropfen und das Substrat durch die Mittelebene halbiert, um die Freiheitsgrade zu halbieren. Für die Querrichtung des Piezoelements wird eine periodische Randbedingung verwendet, während für den Tropfen eine symmetrische Randbedingung gilt. Dies stellt eine gute Annäherung an die physikalischen Vorgänge dar, insbesondere wenn wir uns für das Strömungsfeld im Tropfen interessieren. Falls das Modell eine starke Abhängigkeit von der Querlänge aufweisen würde, müssten wir das Gebiet des Substrats vergrößern.

Zweitens werden wir, da die zur Erfassung der Wellen erforderlichen Auflösungsstufen im Tropfen anders sind als im Substrat, für beide unterschiedliche Netze und Netzgrößen verwenden. Dies wird erreicht, indem in der Geometrie-Sequenz die Methode Form Assembly anstelle der Methode Form Union verwendet wird. Dieses Feature ermöglicht es, mehrere Geometrieobjekte in einer Komponente des Modells zu haben, jedes Objekt separat zu vernetzen und sie mithilfe der sogenannten Funktion Pair zu verbinden, die nicht-konforme Netze miteinander koppelt. Denken Sie daran, die Operation Union an den entsprechenden Stellen zu verwenden, damit die Software erkennen kann, dass einige der Geometrieinstanzen zu einem einzigen Objekt gehören. Die Gebiete, die zum selben Objekt gehören, verfügen über ein konformes Netz, und zwischen ihnen wird kein Pair verwendet.

Vergrößerte Ansicht des nicht-konformen Netzes nahe der Vorderkante des Tropfens.

Abschließend müssen wir einen iterativen Löser verwenden, um den Arbeitsspeicherbedarf in der Studie Frequency Domain zu reduzieren. Allgemeine Richtlinien zu den Einstellungen iterativer Löser für Akustikprobleme finden Sie im Abschnitt Solving Large Acoustics Problems Using Iterative Solvers im Acoustic Module User Guide. In diesem Modell ist die Anzahl der Freiheitsgrade für die Interfaces Electrostatics und Solid Mechanics deutlich geringer als für das Interface Pressure Acoustics, und es ist zu erwarten, dass direkte Löser bei der Berechnung des elektrischen Potenzials und der Verschiebungsfelder gut funktionieren. Daher aktivieren wir hybride Vorkonditionierer und verwenden einen Direct Preconditioner für die abhängigen Variablen der Interfaces Electrostatics und Solid Mechanics. Mit diesem Feature können wir für kleine Felder einen direkten Löser verwenden, während wir für die anderen großen Felder effiziente Löser einsetzen. Wenn das Modell kein piezoelektrisches Gebiet hätte, könnten wir einen Segregated-Löser verwenden, um den Arbeitsspeicherbedarf noch weiter zu reduzieren. Wie jedoch im Abschnitt Solving Large Acoustic–Structure Interaction Models im Acoustic Module User Guide erläutert, muss für Akustik-Struktur-Interaktionsmodelle mit Piezoelektrizität der Löser Fully Coupled verwendet werden, sodass der lineare Löser der einzige Teil ist, den wir anpassen können. Der akustische Teil der Gleichungen nutzt den Shifted-Laplace-Ansatz als effiziente Form des Multigrid-Vorkonditionierers.

Das Einstellungsfenster für den Direct Preconditionerim 3D-Modell. Beachten Sie, dass die Hybridisierung aktiviert wird, indem Sie im Abschnitt Hybridization die Option Multi preconditioner auswählen.

Derzeit wird die Studie Frequency Domain in unserer Umgebung mit 130 GB Arbeitsspeicher in etwa 1 Stunde und 10 Minuten berechnet. Doch auch nach Abschluss der Studie müssen Sie einen wichtigen Aspekt berücksichtigen: das Rendern. Bei einem großen Modell kann das Rendern eines Ergebnisses sehr lange dauern. Um die Arbeit mit großen Modellen zu vereinfachen, wird empfohlen, im Einstellungsfenster für den Knoten Results das Kontrollkästchen Only plot when requested zu aktivieren.

Die nachstehenden Ergebnisse zeigen deutlich den Einfluss der 3D-Geometrie. Das Druckmuster weist nun im mittleren Schnitt einen deutlicher ausgeprägten Spitzenwert auf als das 2D-Ergebnis. Zudem bildet sich – auch wenn dies anhand eines einzelnen Bildes nur schwer zu erkennen ist – in der Nähe der Vorderkante ein kleiner Wirbel, während der Rest des Tropfens von einem großen Wirbel eingenommen wird. Diese Ergebnisse stimmen gut mit der Referenz überein, bei der eine 3D-Simulation durch Aufteilung der Berechnung in 2D-Teilprobleme durchgeführt wurde. In unserem Modell haben wir einen relativ unkomplizierten Ansatz gewählt; daher können wir die multiphysikalische Modellierung mit einigen Anpassungen in den Einstellungen einfach einrichten. Die Strategie, ein nicht-konformes Netz und einen iterativen Löser zu verwenden, würde auch bei anderen großen Problemen funktionieren, wie beispielsweise bei komplexen MEMS-Bauteilen.

Im 3D-Modell berechnete Ergebnisse. Spannung an der Substratoberfläche und Schalldruck im Tropfen (links); Strömungslinien, eingefärbt nach dem Betrag der Geschwindigkeit (rechts).

Nächste Schritte

In diesem Blog-Beitrag haben wir uns mit der Komplexität der Modellierung von akustischen Strömungen in einem Tropfen und den damit verbundenen multiphysikalischen Phänomenen anhand von 2D- und 3D-Modellen befasst. Wir haben die Wechselwirkungen zwischen den Physik-Interfaces beobachtet, selbst bei dem 2D-Modell, das sich schnell berechnen ließ. Die Erweiterung eines 2D-Modells zu einem 3D-Modell kann mitunter eine Herausforderung darstellen; es kann einige Versuche erfordern, um herauszufinden, welche Konfiguration für das jeweilige Modell geeignet ist. Wir hoffen, dass die hier vorgestellte Strategie für Ihr multiphysikalisches Problem von Nutzen sein wird. Die Modelle stehen unter den folgenden Links zur Verfügung:

• Durch akustische Oberflächenwellen induzierte Strömung in einem Tropfen — 2D-Setup
• Durch akustische Oberflächenwellen induzierte Strömung in einem Tropfen — 3D-Setup

Wie oben erwähnt, werden piezoelektrische Materialien häufig zur Anregung von AOW verwendet, doch erfordert die Definition der Eigenschaften besondere Beachtung hinsichtlich des Koordinatensystems. Darüber hinaus steht das Design der IDT in engem Zusammenhang mit der anzuregenden Wellengeschwindigkeit; daher ist es ebenfalls wichtig zu prüfen, ob die AOW wie gewünscht erzeugt werden. Die folgenden Modelle dienen als nützliche Referenz, um Ihren AOW-Aufbau zu testen, bevor Sie ein komplexes Modell erstellen:

• Euler-Winkel-Rotation bei der Modellierung akustischer Oberflächenwellen
• Berechnung der Geschwindigkeit akustischer Oberflächenwellen mit einer Einheitszelle

In diesem Blog-Beitrag wird die Bewegung von Partikeln in der Strömung nicht erwähnt. Um die akustische Beeinflussung von Phänomenen wie der Partikelbewegung zu modellieren, könnte es zudem erforderlich sein, die auf die Partikel ausgeübte akustische Strahlungskraft zu berücksichtigen. Das Interface Particle Tracing for Fluid Flow enthält diese Funktionalität im Knoten Acoustophoretic Radiation Force, der zusammen mit dem Knoten Drag Force verwendet werden kann. Bei dieser kombinierten Verwendung wird gleichzeitig die Kraft berücksichtigt, die durch die stationäre Strömungskomponente entsteht. Die folgenden Modelle könnten als Ausgangspunkt für solche Anwendungen dienen:

• Akustische Strömung in einem Mikrokanal-Querschnitt
• Dreiminensionale akustische Falle und thermoakustische Strömung in einer Glaskapillare
  

Referenz

1. A. Riaud et al., “On the Influence of Viscosity and Caustics on Acoustic Streaming in Sessile Droplets: An Experimental and a Numerical Study with a Cost-Effective Method,” Journal of Fluid Mechanics, Vol. 821, S. 384–420, 2017. DOI: https://doi.org/10.1017/jfm.2017.178