Sind Sie schon einmal auf eine Superellipse gestoßen? Ich habe dieses Wort vor etwa 50 Jahren zum ersten Mal im Zusammenhang mit dem superellipsenförmigen Brunnen (siehe Foto unten) gehört, der sich im Herzen von Stockholm befindet, nur 10 Gehminuten von der schwedischen Niederlassung von COMSOL entfernt. Kürzlich kam mir der Gedanke, dass es interessant wäre, das Spannungsmuster um ein superelliptisches Loch in einer Platte zu untersuchen. In diesem Blog-Beitrag stelle ich Ihnen die Ergebnisse vor.
Was ist eine Superellipse?
Eine gewöhnliche Ellipse wird üblicherweise durch die Gleichung
beschrieben, wobei a und b als Halbachsen der Ellipse bezeichnet werden. Wenn a = b gilt, ergibt sich die Gleichung eines Kreises mit dem Radius a.
Die Superellipse ist eine Verallgemeinerung, bei der ein anderer Exponent als 2 verwendet wird, sodass
Für den Springbrunnen im Zentrum von Stockholm ist n = 2,5 und der Formfaktor a/b = 6/5.
Der Brunnen am Sergels Torg (links) und eine Umrisszeichnung seiner Form (rechts).
Weitere Beispiele für Superellipsen sind unten abgebildet.
Weitere Informationen zur Mathematik der Superellipsen finden Sie hier.
Spannungskonzentrationsfaktor
Der Spannungskonzentrationsfaktor Kt ist ein wichtiger Begriff in der Festkörpermechanik. Er wird verwendet, um den Anstieg der Spannung im Umfeld einer geometrischen Diskontinuität in einem Bauteil zu beschreiben. Kt setzt die maximale Spannung in Beziehung zu einer entsprechend definierten Nennspannung (Spannung ohne die geometrische Diskontinuität):
Bislang wurden Spannungskonzentrationsfaktoren für typische Fälle in Handbüchern tabellarisch aufgeführt. Mit den heutigen benutzerfreundlichen Finite-Elemente-Programmen lässt sich ein Spannungskonzentrationsfaktor jedoch oft schneller und genauer berechnen, als dies anhand eines Diagramms oder einer Tabelle möglich wäre.
Das wohl bekannteste Ergebnis ist wahrscheinlich Kt = 3 für ein kreisförmiges Loch in einer einachsig belasteten großen Platte.
Ein Modell in COMSOL Multiphysics® der Von-Mises-Vergleichsspannung um eine kreisförmige Bohrung in einer Platte, die einer axialen Einheitsspannung in horizontaler Richtung ausgesetzt ist.
Ein weiteres analytisches Ergebnis ist der Spannungskonzentrationsfaktor für ein elliptisches Loch in einer großen Platte:
Hier ist die Halbachse mit der Länge b diejenige, die senkrecht zum Spannungsfeld steht, sodass die Spannungskonzentration mit dem Verhältnis b/a zunimmt.
Ein Modell der Von-Mises-Vergleichsspannung um ein elliptisches Loch mit b/a = 3 in einer Platte, die einer axialen Einheitsspannung in horizontaler Richtung ausgesetzt ist.
Spannungsanalyse eines superelliptischen Lochs
Eine superelliptische Kurve lässt sich in der COMSOL®-Software ganz einfach mithilfe des Features Parametric Curve konstruieren.
Eine superelliptische Kurve im Model Builder, die mithilfe des Features Parametric Curve erstellt wurde.
Hier wird zur Parametrisierung eine Darstellung der Superellipse in Polarkoordinaten verwendet. Es wäre auch möglich, eine einfachere Parametrisierung zu verwenden, die auf der ursprünglichen Gleichung basiert, die in x und y ausgedrückt wird; diese ist jedoch weniger genau, da die Beziehung zwischen y und x stark nichtlinear ist.
Die verwendete Parametrisierung (links) und eine alternative, einfachere, aber weniger effiziente Parametrisierung (rechts).
Betrachten wir zunächst die Ergebnisse für ein Loch mit einer Geometrie, die der des zuvor erwähnten Brunnens ähnelt. Die Spitzenspannung hängt von der Ausrichtung der größeren Halbachse ab, doch in beiden Fällen liegt der Spannungskonzentrationsfaktor unter dem Wert von 3, der für ein kreisförmiges Loch gilt.
Modelle der Von-Mises-Vergleichsspannung in einer Platte mit einem superelliptischen Loch, wobei n = 2,5 und a/b = 6/5 ist.
Das sieht vielversprechend aus. Von hier aus lässt sich ganz einfach ein parametrischer Sweep einrichten und das Spannungsverhalten für viele verschiedene Formen untersuchen.
Für jeden Wert des Superellipsenexponenten n kleiner als 2 entstehen scharfe Ecken an der Lochkante. Dies würde zu Spannungssingularitäten führen. Solche Fälle sind in diesem Zusammenhang nicht von Interesse. Daher wird n im Bereich von 2 bis 8 gehalten. Bei den höchsten Werten ist das Loch fast rechteckig mit Eckenverrundungen. Für das Achsenverhältnis b/a werden Werte im Bereich von 0,2 bis 5 getestet. Die berechneten Spannungskonzentrationsfaktoren sind in der folgenden Grafik dargestellt.
Spannungskonzentrationsfaktoren für superelliptische Löcher für eine Reihe von Exponenten n und Achsenverhältnissen q = b/a. Die Markierungen auf den Kurven zeigen die Minimalwerte an.
Für n = 2 lässt sich feststellen, dass die Werte den Erwartungen für eine Ellipse entsprechen: \displaystyle K_{\mathrm t} = 1+ 2 \frac{b}{a}
Wenn die Kurven mit diesem Faktor normalisiert werden, lässt sich erkennen, wie sich eine Superellipse von einer gewöhnlichen Ellipse mit demselben Achsenverhältnis unterscheidet:
Normalisierte Spannungskonzentrationsfaktoren für superelliptische Löcher.
Wie zu sehen ist, gibt es immer eine Superellipse mit demselben Achsenverhältnis wie eine bestimmte Ellipse, die einen geringeren Spannungskonzentrationsfaktor ergibt. Ersetzt man insbesondere einen Kreis durch die bestmögliche symmetrische Superellipse (q = 1), so lässt sich der Spannungskonzentrationsfaktor durch die Wahl von n = 3 um 14 % reduzieren. Dies ist eine recht deutliche Verbesserung. Eine solche Verringerung der Spannung könnte die Ermüdungslebensdauer um den Faktor 2 verbessern.
Der optimale Ersatz für ein rundes Loch.
Stärkere Strukturen bei größerer Lochfläche
Die von einer Superellipse umschlossene Fläche lässt sich wie folgt ausdrücken:
wobei Γ die Gammafunktion ist.
Zum Vergleich: Die Fläche einer gewöhnlichen Ellipse beträgt
Das bedeutet, dass das Verhältnis zwischen der Fläche einer Superellipse und der einer gewöhnlichen Ellipse mit denselben Halbachsen unabhängig vom Achsenverhältnis ist und sich wie folgt ausdrücken lässt:
Im folgenden Plot ist die Funktion \psi(n) dargestellt:
Relative Flächenvergrößerung als Funktion von n im Vergleich zu einer Ellipse. Der asymptotische Wert 4/ π ist durch die gestrichelte Linie gekennzeichnet.
Es zeigt sich, dass die Fläche jeder Superellipse mit n > 2 stets größer ist als die der Ellipse mit denselben Halbachsen. Überraschenderweise bedeutet dies, dass es immer möglich ist, den Spannungskonzentrationsfaktor zu senken, indem man ein kreisförmiges oder elliptisches Loch in ein superelliptisches mit größerer Fläche umwandelt, d. h. durch Materialabtrag. In meinem vorherigen Blog-Beitrag über die Verstärkung von Strukturen durch Materialabtrag werden einige weitere Fälle vorgestellt, in denen weniger Material von Vorteil ist.
Es ist jedoch zu beachten, dass wir lediglich einachsige Spannungszustände untersucht haben, die auf eine der Halbachsen des Lochs ausgerichtet sind. Bei einigen anderen Spannungszuständen lässt sich kein Spannungsminderungseffekt erzielen. Die verringerten Radien der Ecken der Superellipse führen stattdessen zu einer Erhöhung der Spannungen.
Reale Anwendungsfälle von Superellipsen
Das ist natürlich in erster Linie eine theoretische Diskussion zur Unterhaltung. In der Praxis ist es oft viel einfacher, runde Löcher zu bohren. Wenn jedoch beispielsweise additive Fertigung oder Gussverfahren zum Einsatz kommen, kann es von Vorteil sein, andere Formen zu wählen.
Der Ansatz, eine superelliptische Form zu verwenden, lässt sich nicht nur auf Löcher anwenden. Mit demselben Prinzip lassen sich auch Spannungskonzentrationen an Verrundungen reduzieren.
Sie können das in den obigen Beispielen verwendete Modell herunterladen, indem Sie auf die Schaltfläche unten klicken.
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